Calcule a integral integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y

(b) Coonoemposs vonares:

& x=r cos theta & y=r sin theta & 2 & integral-pi4^pi4 integral undersetr^2e r d r d theta=integral-pi / 4^alpha / 4(integral0^4 e^22 d u) d theta=ldots=pi2(e^42-12)
lg pi 4 ?
interseqEáo das curvas x=y in x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para integrais envolvendo . Então, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. Pelo enunciado, é a interseção das curvas e .
  • A equação representa uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
  • A equação representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
Então, é a região dentro do círculo que está entre as duas linhas .

Passo 3

Vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x &= r cos theta y &= r sin theta x^2 + y^2 &= r^2
Também, o elemento de área integral duplaD e^x^2 + y^2 dx,dy = integralthetamin^thetamax integralrmin^rmax e^r^2 cdot r,dr,dtheta em coordenadas polares vira . Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para theta in [-pi4, pi4] r in [0, 2] e .
  • Para : A região está entre as linhas . Em coordenadas polares, isso corresponde a e .
  • Para : Dentro do círculo , então varia de 0 até 2.
Então, os limites são:

Passo 5

Vamos montar a integral com os limites determinados:
integral-pi4^pi4 integral0^2 e^r^2 cdot r,dr,dtheta
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 e^r^2 cdot r,dr :
integral0^2 e^u cdot du2 = 12 integral0^4 e^u,du = 12 [ e^u ]0^4 = 12 ( e^4 - 1 )
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja , então ou . Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos substituir o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral-pi4^pi4 12 ( e^4 - 1 ) dtheta = 12 ( e^4 - 1 ) integral-pi4^pi4 dtheta
A integral de theta |-pi4^pi4 = pi4 - ( -pi4 ) = pi2 de 12 ( e^4 - 1 ) cdot pi2 = pi4 ( e^4 - 1 ) a é simplesmente:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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