Calcule a integral
(b) Coonoemposs vonares:
?
interseqEáo das curvas
interseqEáo das curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para integrais envolvendo
. Então, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
sobre a qual vamos integrar. Pelo enunciado,
é a interseção das curvas
e
.
- A equação
representa uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus. - A equação
representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
Então,
é a região dentro do círculo
que está entre as duas linhas
.
Passo 3
Vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Também, o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
-
Para
: A região está entre as linhas . Em coordenadas polares, isso corresponde a e . -
Para
: Dentro do círculo , então varia de 0 até 2.
Então, os limites são:
Passo 5
Vamos montar a integral com os limites determinados:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja
, então
ou
. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos substituir o resultado da integral interna de volta na integral externa:
A integral de
de
a
é simplesmente:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla é igual a
.