Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para integrais envolvendo . Então, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. Pelo enunciado, é a interseção das curvas e .
A equação representa uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
A equação representa um círculo de raio 2 centrado na origem.
Então, é a região dentro do círculo que está entre as duas linhas .
Passo 3
Vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Também, o elemento de área em coordenadas polares vira . Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e .
Para : A região está entre as linhas . Em coordenadas polares, isso corresponde a e .
Para : Dentro do círculo , então varia de 0 até 2.
Então, os limites são:
Passo 5
Vamos montar a integral com os limites determinados:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja , então ou . Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos substituir o resultado da integral interna de volta na integral externa: