Calcule: (1,5 ponto ) lim (pi, v) (0,0) x^3 raizyraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é limites em várias variáveis, e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas por coordenadas polares , onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão quando tende a 0.

Passo 3

Substituindo x^3 raizyraizx^2+y^2 = (r cos(theta))^3 raizr sin(theta)raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e na função, temos:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador. Sabemos que , já que .

Passo 5

Agora, a expressão fica:
r^3 cos^3(theta) cdot raizr raizsin(theta)r = r^3 + 12 cos^3(theta) raizsin(theta) div r = r^2.5 cos^3(theta) raizsin(theta)

Passo 6

Observamos que à medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Já e são funções limitadas (não crescem para infinito) dentro do intervalo de .

Passo 7

Como tende a 0 e as demais partes da expressão são limitadas, o produto inteiro tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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