(Stewart) Seja C(t) a concentração de um remédio na circulação sanguinea. À medida que o corpo elimina o remédio, C(t) diminui com uma taxa proporcional à quantidade de medicamento que está presente naquele momento. Então C'(t) = -k C(t), onde k é um número positivo chamado constante de eliminação do remédio. (a) Se C0 for a concentração no tempo t = 0, encontre a concentração no tempo t.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial que descreve como a concentração de um remédio no sangue, C(t), muda ao longo do tempo. A taxa de mudança, , é proporcional à concentração atual, com uma constante positiva k. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas para resolver equações diferenciáveis simples.

Passo 2

A equação dada é . Isso significa que a concentração do remédio diminui de forma proporcional à quantidade presente no momento. Esse tipo de equação descreve um processo de decaimento exponencial.

Passo 3

Para resolver a equação, vamos separar as variáveis C e t. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com C fiquem de um lado e os termos com t fiquem do outro:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é mais uma constante de integração:
Para simplificar, podemos reescrever a constante de integração como , onde é a concentração inicial no tempo t = 0:

Passo 5

Para resolver para C(t), aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
Assim, a concentração do remédio no tempo t é dada por:

Resposta

A concentração no tempo t é .

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