(Stewart) Seja a concentração de um remédio na circulação sanguinea. À medida que o corpo elimina o remédio, diminui com uma taxa proporcional à quantidade de medicamento que está presente naquele momento. Então , onde é um número positivo chamado constante de eliminação do remédio. (a) Se for a concentração no tempo , encontre a concentração no tempo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial que descreve como a concentração de um remédio no sangue, , muda ao longo do tempo. A taxa de mudança, , é proporcional à concentração atual, com uma constante positiva . Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas para resolver equações diferenciáveis simples.

Passo 2

A equação dada é . Isso significa que a concentração do remédio diminui de forma proporcional à quantidade presente no momento. Esse tipo de equação descreve um processo de decaimento exponencial.

Passo 3

Para resolver a equação, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é mais uma constante de integração:
Para simplificar, podemos reescrever a constante de integração como , onde é a concentração inicial no tempo :

Passo 5

Para resolver para , aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
Assim, a concentração do remédio no tempo é dada por:

Resposta

A concentração no tempo é .

Exercícios relacionados

(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial: (a) Mostre que a equação diferencial (1.29) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
Calcule o volume de
(b) USANDO COORETADAS POLAROS:
Vowmo oc S:
ó
Calcule a integral

(b) Coonoemposs vonares:

?
interseqEáo das curvas