(Stewart) Seja
a concentração de um remédio na circulação sanguinea. À medida que o corpo elimina o remédio,
diminui com uma taxa proporcional à quantidade de medicamento que está presente naquele momento. Então
, onde
é um número positivo chamado constante de eliminação do remédio. (a) Se
for a concentração no tempo
, encontre a concentração no tempo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial que descreve como a concentração de um remédio no sangue,
, muda ao longo do tempo. A taxa de mudança,
, é proporcional à concentração atual, com uma constante positiva
. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas para resolver equações diferenciáveis simples.
Passo 2
A equação dada é
. Isso significa que a concentração do remédio diminui de forma proporcional à quantidade presente no momento. Esse tipo de equação descreve um processo de decaimento exponencial.
Passo 3
Para resolver a equação, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
mais uma constante de integração:
Para simplificar, podemos reescrever a constante de integração como
, onde
é a concentração inicial no tempo
:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
Assim, a concentração do remédio no tempo
é dada por:
Resposta
A concentração no tempo
é
.