(Stewart) Seja a concentração de um remédio na circulação sanguinea. À medida que o corpo elimina o remédio, diminui com uma taxa proporcional à quantidade de medicamento que está presente naquele momento. Então , onde é um número positivo chamado constante de eliminação do remédio. (a) Se for a concentração no tempo , encontre a concentração no tempo .
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial que descreve como a concentração de um remédio no sangue, , muda ao longo do tempo. A taxa de mudança, , é proporcional à concentração atual, com uma constante positiva . Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar técnicas para resolver equações diferenciáveis simples.
Passo 2
A equação dada é . Isso significa que a concentração do remédio diminui de forma proporcional à quantidade presente no momento. Esse tipo de equação descreve um processo de decaimento exponencial.
Passo 3
Para resolver a equação, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é mais uma constante de integração:
Para simplificar, podemos reescrever a constante de integração como , onde é a concentração inicial no tempo :
Passo 5
Para resolver para , aplicamos a função exponencial em ambos os lados da equação:
Assim, a concentração do remédio no tempo é dada por: