Calcule o volume de
(b) USANDO COORETADAS POLAROS:
Vowmo oc S:
ó
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares e algumas identidades trigonométricas para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
Essas equações descrevem uma circunferência de raio 1 centrada em (1,0) no plano xy. Queremos encontrar os limites de integração em coordenadas polares para calcular o volume.
Passo 3
A partir da equação da circunferência, substituímos e por suas representações em coordenadas polares:
Expandindo:
Simplificando e somando :
Resolvendo para :
Então, o limite superior de é para .
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão do volume usando a integral dupla em coordenadas polares. A função que estamos integrando é . Substituindo e :
Então, a integral fica:
Aqui, o extra vem do elemento de área em coordenadas polares .
Passo 5
Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a :
Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, a integral se torna:
Depois de resolver as integrais (o que envolve simplificações e aplicação de técnicas de integração), chega-se ao resultado final: