Calcule o volume de S
(b) USANDO COORETADAS POLAROS:
l x=r cos theta V ARing Q d x e y lm 0: 0 <= theta <= pi2 y=r sen theta 0 (x-1)^2+y^2=1 (r cos theta-1)+r^2 sin ^2 theta=1 r^2 cos ^2 theta-2 r cos theta+1+r^2 sen^2 theta=1 r=2 cos theta
Vowmo oc S:
integral dupla0(-x-y+5) d A=integral0^pi / 2 integral0^2 cos theta(-r cos theta-r sen theta+5) r d r d theta=integral0^pi / 2(-r^33 cos theta-r^33 sen theta+5 r^22)|r=0 ^r=2 cos theta d theta
= & integral0^theta / 2(-83 cos ^4 theta-83 cos ^3 theta sen theta+10 cos ^2 theta) d theta=ldots=2 pi-2 / 3 & Usar a idemrionoc Thigono mótrioa : ó
cos ^2 theta=12+12 cos (2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares e algumas identidades trigonométricas para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
Essas equações descrevem uma circunferência de raio 1 centrada em (1,0) no plano xy. Queremos encontrar os limites de integração em coordenadas polares para calcular o volume.

Passo 3

A partir da equação da circunferência, substituímos (r cos theta - 1)^2 + (r sen theta)^2 = 1 e r^2 cos^2 theta - 2r cos theta + 1 + r^2 sen^2 theta = 1 por suas representações em coordenadas polares:
Expandindo:
Simplificando e somando :
r^2 - 2r cos theta + 1 = 1 Rightarrow r^2 - 2r cos theta = 0
Resolvendo para r (r - 2 cos theta) = 0 Rightarrow r = 0 ou r = 2 cos theta :
Então, o limite superior de é para .

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão do volume usando a integral dupla em coordenadas polares. A função que estamos integrando é -x - y + 5 = -r cos theta - r sen theta + 5 . Substituindo VS = integral0^pi2 integral0^2 cos theta ( -r cos theta - r sen theta + 5 ) r , dr , dtheta e :
Então, a integral fica:
Aqui, o extra vem do elemento de área em coordenadas polares .

Passo 5

Vamos calcular a integral em relação a integral0^2 cos theta ( -r cos theta - r sen theta + 5 ) r , dr = integral0^2 cos theta ( -r^2 cos theta - r^2 sen theta + 5r ) dr primeiro:
Integrando termo a termo:
Substituindo = [ -r^33 cos theta - r^33 sen theta + 5 r^22 ]0^2 cos theta :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a VS = integral0^pi2 ( -83 cos^4 theta - 83 cos^3 theta sen theta + 10 cos^2 theta ) dtheta :
Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 12 + 12 cos (2 theta)
Aplicando isso, a integral se torna:
Depois de resolver as integrais (o que envolve simplificações e aplicação de técnicas de integração), chega-se ao resultado final:
VS = integral0^pi2 ( -83 ( 12 + 12 cos (2 theta) )^2 - 83 cos^3 theta sen theta + 10 ( 12 + 12 cos (2 theta) ) ) dtheta

Resposta

O volume de é .

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