Determine , onde é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é o espaço entre duas esferas centradas na origem com raios e , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar converter a integral para coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em:
Além disso, . Isso simplifica nossa integral bastante.

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Para integrar , usamos a antiderivada:
Então, avaliando de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
A antiderivada de é , então:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando todos os resultados, temos:

Exercícios relacionados

Seja . Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros e . Faça um esboço do sólido.
Calcule , onde é um inteiro e é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios e .
Se denota o maior inteiro contido em , calcule a integral
onde .
Encontre o valor médio da função no intervalo .