Determine , onde é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é o espaço entre duas esferas centradas na origem com raios e , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar converter a integral para coordenadas esféricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em:
Além disso, . Isso simplifica nossa integral bastante.
Passo 3
Vamos reescrever a integral original usando coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Para integrar , usamos a antiderivada:
Então, avaliando de a :
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a :
A antiderivada de é , então:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
Resposta
Multiplicando todos os resultados, temos:
integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^n / 2 dV = R^3 - n - r^3 - n3 - n cdot 2 cdot 2pi = 4pi (R^3 - n - r^3 - n)3 - n