Determine integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^n / 2 d V, onde E é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios r e R, 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é o espaço entre duas esferas centradas na origem com raios e , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar converter a integral para coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta se transforma em:
Além disso, . Isso simplifica nossa integral bastante.

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando coordenadas esféricas:
integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^n / 2 dV = integral0^2pi integral0^pi integralr^R 1rho^n cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
1rho^n cdot rho^2 = rho^2 - n
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi integralr^R rho^2 - n sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a integralr^R rho^2 - n , drho primeiro:
rho^3 - n3 - n
Para integrar R^3 - n - r^3 - n3 - n , usamos a antiderivada:
Então, avaliando de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi sinphi , dphi :
-cosphi |0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2
A antiderivada de é , então:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados, temos:
integral triplaE 1(x^2+y^2+z^2)^n / 2 dV = R^3 - n - r^3 - n3 - n cdot 2 cdot 2pi = 4pi (R^3 - n - r^3 - n)3 - n

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