Determine o volume do sólido que está contido acima do cone e abaixo da esfera .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, pois as formas do cone e da esfera são mais fáceis de lidar nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera. A equação dada é . Vamos rearranjá-la para completar o quadrado no :
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto e raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar o cone . Em coordenadas cilíndricas, onde e é o ângulo, a equação do cone fica:
Isso indica que o cone tem uma simetria circular ao redor do eixo e abre com um ângulo de 45 graus.

Passo 4

Para encontrar o volume entre o cone e a esfera, precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as equações do cone e da esfera substituindo na equação da esfera:
Isso nos dá ou . Como representa uma distância, descartamos porque queremos a interseção além da origem. Então, a interseção ocorre quando .

Passo 5

Vamos configurar a integral para calcular o volume usando coordenadas cilíndricas. O volume pode ser expresso como:
Aqui, é a coordenada na esfera para um dado . Da equação da esfera , substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como estamos interessados na parte superior da esfera (acima do cone), escolhemos o sinal positivo:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a expressão para o volume fica:

Passo 7

Vamos integrar agora em relação a :
Resolvendo cada termo separadamente:
  1. — isso pode ser resolvido por substituição , mas no fim, ao calcular os limites, esse termo cancelará.
Após calcular e aplicar os limites de a , encontramos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule: ; onde está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência e pelos eixos coordenados.
Calcule:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Calcule a integral dupla: