Determine o volume do sólido
que está contido acima do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido
que está acima do cone
e abaixo da esfera
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas cilíndricas, pois as formas do cone e da esfera são mais fáceis de lidar nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera. A equação dada é
. Vamos rearranjá-la para completar o quadrado no
:
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cone
. Em coordenadas cilíndricas, onde
e
é o ângulo, a equação do cone fica:
Isso indica que o cone tem uma simetria circular ao redor do eixo
e abre com um ângulo de 45 graus.
Passo 4
Para encontrar o volume entre o cone e a esfera, precisamos determinar onde essas duas superfícies se intersectam. Vamos igualar as equações do cone e da esfera substituindo
na equação da esfera:
Isso nos dá
ou
. Como
representa uma distância, descartamos
porque queremos a interseção além da origem. Então, a interseção ocorre quando
.
Passo 5
Vamos configurar a integral para calcular o volume usando coordenadas cilíndricas. O volume
pode ser expresso como:
Aqui,
é a coordenada
na esfera para um dado
. Da equação da esfera
, substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Como estamos interessados na parte superior da esfera (acima do cone), escolhemos o sinal positivo:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a expressão para o volume fica:
Passo 7
Vamos integrar agora em relação a
:
Resolvendo cada termo separadamente:
-
-
— isso pode ser resolvido por substituição , mas no fim, ao calcular os limites, esse termo cancelará. -
Após calcular e aplicar os limites de
a
, encontramos:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Calcule:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Calcule a integral dupla: