Calcule integral duplaD arccotan(x / y)) d A, onde D=(x, y) ; 9 <= x^2+y^2 <= 16,-x <= y <= 0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD arccotan(xy) , dA, onde a região D é definida por 9 <= x^2 + y^2 <= 16 e -x <= y <= 0.
Conteúdo da matéria: Integrais duplas em coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos sobre coordenadas polares.
  • Mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
  • Propriedades das funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A condição 9 <= x^2 + y^2 <= 16 descreve uma faixa entre dois círculos concêntricos com raios 3 e 4. A condição -x <= y <= 0 define uma área abaixo do eixo x e acima da reta y = -x.
Teoria Aplicada: Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta. A equação x^2 + y^2 = r^2 simplifica a descrição de círculos.

Passo 3

Vamos converter a região D para coordenadas polares. As condições ficam:
  • 3 <= r <= 4
  • -x <= y <= 0 Rightarrow -costheta <= sintheta <= 0
Vamos resolver a desigualdade -costheta <= sintheta <= 0 para encontrar os limites de theta.
Teoria Aplicada: Resolver desigualdades trigonométricas para determinar os limites angulares em coordenadas polares.

Passo 4

Resolvendo -costheta <= sintheta:
sintheta + costheta >= 0
Dividindo ambos os lados por raiz2:
sinthetaraiz2 + costhetaraiz2 >= 0 Rightarrow sintheta' >= 0, onde theta' = theta + pi4
Isso nos dá que theta' in [0, pi], ou seja, theta in [-pi4, 3pi4]
Considerando que sintheta <= 0, isso restringe theta para [-pi4, 0]

Passo 5

Agora, expressamos a função a ser integrada em coordenadas polares:
arccotan(xy) = arccot(rcosthetarsintheta) = arccot(cottheta) = theta
Teoria Aplicada: Propriedades das funções trigonométricas inversas.

Passo 6

A integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD theta , r , dr , dtheta
Com os limites:
  • 3 <= r <= 4
  • -pi4 <= theta <= 0

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral-pi4^0 integral3^4 theta , r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral3^4 theta , r , dr = theta [ r^22 ]3^4 = theta ( 162 - 92 ) = theta ( 72 ) = 72 theta

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
72 integral-pi4^0 theta , dtheta = 72 [ theta^22 ]-pi4^0 = 72 ( 0 - (pi4)^22 ) = -72 cdot pi^232 = -7pi^264

Resposta

O valor da integral é -dfrac7pi^264.

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