Calculo a área do sólido abaixo do gráfico da funçāo e acima da regiāo do plano . é a regiāo do plano limitada pelo gráfico das funçōes e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo do gráfico da função e acima da região no plano . A região é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos ajuda a encontrar volumes sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas e se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Portanto, a região se estende de a .
Passo 3
Agora vamos determinar os limites para dentro dessa região. Para um valor específico de entre 0 e 1, varia de (a curva de baixo) até (a curva de cima). Então, nossos limites de integração são:
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, representa a função que define a altura do sólido em cada ponto .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, integramos o resultado obtido em relação a de 0 a 1: