Expresse
em termos de
e
, em que
é uma função derivável dada implicitamente pela equaçã̃o:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando diferenciação implícita. Pra resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e isolar
no final.
Passo 2
Primeiro, vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. A equação dada é:
Passo 3
Vamos diferenciar o lado esquerdo. Usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, temos
, que é um produto de
e
. Então, aplicamos a regra do produto:
E a derivada de 7 é 0, então:
Passo 5
Substituindo de volta na derivada do lado esquerdo:
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação, que é
:
Passo 6
Igualando as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Vamos expandir o lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 8
Vamos coletar os termos que têm
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 6:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calculo a área do sólido abaixo do gráfico da funçāo
e acima da regiāo
do plano
.
é a regiāo do plano
limitada pelo gráfico das funçōes
e
.
Calcule
, onde
.
Mostre que
. Justifique, geometricamente, o porque o vetor
é uma combinação linear de w e s.
As equações diferenciais abaixo possuem um ponto singular regular
. Use o método de Frobenius para calcular a solução da EDO em torno de
.