Partículas de carga +q são colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de -1 em P(x, y, z).
(a) Se v=O P, mostre que a força líquida F na partícula carregada negativamente é dada por
F=k q(v-i|v-i|^3+v-j|v-j|^3+v-k|v-k|^3)
(b) A partícula carregada negativamente deve ser em um ponto P(x, y) equidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja 0. Ache as coordenadas de P.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo aqui. Temos três partículas com carga positiva fixas nos pontos , e . Depois disso, colocamos uma partícula com carga negativa de no ponto .
A matéria que vamos usar envolve conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas. Precisamos analisar as forças exercidas pelas cargas positivas na carga negativa e, no caso da parte (b), encontrar o ponto onde essas forças se cancelam, ou seja, a força líquida é zero.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), onde precisamos mostrar que a força líquida F = k q ( v - i|v - i|^3 + v - j|v - j|^3 + v - k|v - k|^3 ) na partícula carregada negativamente é dada pela expressão:
Aqui, é a constante eletrostática, é o vetor posição do ponto em relação à origem, e , , são os vetores unitários nos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Primeiro, lembramos da Lei de Coulomb, que diz que a força entre duas cargas F = k q1 q2r^2 r e separadas por uma distância é:
onde é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, a carga negativa está no ponto , e as cargas positivas estão nos pontos , e .

Passo 4

Vamos calcular a força exercida por cada carga positiva na carga negativa.
Para a carga em F1 = k q (-1)| v - i |^2 v - i| v - i | , o vetor que vai de F1 = k q v - i| v - i |^3 até essa carga é , onde e .
A distância entre e é .
Então, a força exercida por essa carga é:
Simplificando:

Passo 5

De maneira similar, para as cargas em F2 = k q v - j| v - j |^3 e F3 = k q v - k| v - k |^3 , as forças são:

Passo 6

A força líquida F = F1 + F2 + F3 na partícula carregada negativamente é a soma das três forças:
F = k q ( v - i| v - i |^3 + v - j| v - j |^3 + v - k| v - k |^3 )
Substituindo as expressões anteriores:
E assim, comprovamos a expressão dada na parte (a).

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b), onde queremos encontrar as coordenadas de de modo que a força líquida seja zero, ou seja, .
Além disso, deve ser equidistante das três cargas positivas. Isso significa que as distâncias de a cada uma das cargas são iguais.
Vamos supor que está no plano , então suas coordenadas são .

Passo 8

As distâncias de | v - i | = raiz(x-1)^2 + y^2 + z^2 = raiz(x-1)^2 + y^2 + 0 = raiz(x-1)^2 + y^2 para cada carga são:
| v - j | = raizx^2 + (y-1)^2 + z^2 = raizx^2 + (y-1)^2 + 0 = raizx^2 + (y-1)^2
| v - k | = raizx^2 + y^2 + (z-1)^2 = raizx^2 + y^2 + 1
raiz(x-1)^2 + y^2 = raizx^2 + (y-1)^2 = raizx^2 + y^2 + 1
Como , temos
Para que seja equidistante das três cargas, devemos ter:
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 9

Primeiro, igualamos as duas primeiras distâncias:
raiz(x-1)^2 + y^2 = raizx^2 + (y-1)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2
Expandindo:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1
Cancelando termos comuns:
-2x = -2y
Logo:
x = y

Passo 10

Agora, igualamos a primeira distância com a terceira:
raiz(x-1)^2 + y^2 = raizx^2 + y^2 + 1
Substituindo raiz(x-1)^2 + x^2 = raizx^2 + x^2 + 1 :
raizx^2 - 2x + 1 + x^2 = raiz2x^2 + 1
Simplificando:
raiz2x^2 - 2x + 1 = raiz2x^2 + 1
2x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 1
Elevando ao quadrado:
-2x = 0 Rightarrow x = 0
Cancelando termos:
Então,

Passo 11

Com e , o ponto é .

Resposta

(a) Demonstramos que a força líquida na partícula carregada negativamente é:
F = k q ( v - i|v - i|^3 + v - j|v - j|^3 + v - k|v - k|^3 )
(b) As coordenadas do ponto onde a força líquida é nula e que é equidistante das três cargas positivas são .

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