Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular
. Aqui, a região de integração é um círculo de raio 1 centrado na origem. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas
e
para polares
e
, além de usar o jacobiano da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .
As relações entre cartesianas e polares são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral dada em coordenadas polares. Substituindo
e
, temos:
Então, a integral fica:
Simplificando o integrando:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Sabemos que:
E:
Então, a primeira parte é:
Passo 6
Segunda integral:
Calculando:
E:
Isso porque a função seno é simétrica e positiva de um lado e negativa do outro, cancelando-se.
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral dupla é
.
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Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é a região delimitada por
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: