Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral duplax^2+y^2 <= 1 x^2+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular . Aqui, a região de integração é um círculo de raio 1 centrado na origem. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas e para polares e , além de usar o jacobiano da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em polares, qualquer ponto no plano é representado por x = r costheta e y = r sintheta , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .
As relações entre cartesianas e polares são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em .

Passo 3

Vamos reescrever a integral dada em coordenadas polares. Substituindo x^2 + y = (r costheta)^2 + r sintheta = r^2 cos^2theta + r sintheta e integral duplax^2+y^2 <= 1 (x^2+y) , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 (r^2 cos^2theta + r sintheta) r , dr , dtheta , temos:
r^2 cos^2theta cdot r + r sintheta cdot r = r^3 cos^2theta + r^2 sintheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 (r^3 cos^2theta + r^2 sintheta) , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^2pi integral0^1 r^3 cos^2theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta cdot integral0^1 r^3 , dr
Sabemos que:
integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14
E:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Então, a primeira parte é:
14 cdot pi = pi4

Passo 6

Segunda integral:
integral0^2pi sintheta , dtheta cdot integral0^1 r^2 , dr
Calculando:
integral0^1 r^2 , dr = [r^33]0^1 = 13
E:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Isso porque a função seno é simétrica e positiva de um lado e negativa do outro, cancelando-se.

Resposta

Somando as duas partes:
pi4 + 0 = pi4
Portanto, o valor da integral dupla é .

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