Calcule o limite, caso exista.
lim (x, y) (0,0)(x sen xx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e se o resultado é consistente independentemente do caminho que seguimos para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função perto de x cdot sen xx^2+y^2 approx x cdot xx^2+y^2 = x^2x^2+y^2 . Sabemos que quando está próximo de zero. Assim, podemos aproximar a função dada:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse limite é o mesmo quando nos aproximamos de x^2x^2+0^2 = x^2x^2 = 1 por diferentes caminhos. Vamos testar dois caminhos simples:
  1. Caminho 1: 0^20^2+y^2 = 0y^2 = 0
    Substituindo na função aproximada:
    Então, ao se aproximar por esse caminho, o limite é .
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função aproximada:
    Aqui, ao se aproximar por esse caminho, o limite é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos são diferentes: um dá e o outro dá . Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Passo 5

Quando o limite de uma função de várias variáveis depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe de forma geral.

Resposta

O limite não existe.

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