Calcule o limite, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e se o resultado é consistente independentemente do caminho que seguimos para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função perto de
. Sabemos que quando
está próximo de zero. Assim, podemos aproximar a função dada:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Vamos testar dois caminhos simples:
-
Caminho 1:Substituindo
na função aproximada: Então, ao se aproximar por esse caminho, o limite é. -
Caminho 2:Substituindo
na função aproximada: Aqui, ao se aproximar por esse caminho, o limite é.
Passo 4
Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos são diferentes: um dá
e o outro dá
. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Passo 5
Quando o limite de uma função de várias variáveis depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe de forma geral.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Calcule
sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices
e
.
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
;
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e