Calcule sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrilátero com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a mudança de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Temos os pontos , , e . Plotando esses pontos no plano cartesiano, percebemos que forma um trapézio.
Passo 3
Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variáveis. Vamos definir:
Com isso, precisamos expressar e em termos de e :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral:
[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
integral duplaD sin(vu) cdot 12 , du , dv
= -\frac{1}{2}
]
O valor absoluto do jacobiano é , então a integral passa a ser:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada. Observando os vértices:
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Assim, os limites para vão de 2 a 4. Para cada , varia de 0 a .
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral com os novos limites:
integralu=2^4 integralv=0^u-2 sin(vu) cdot 12 , dv , du
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a 12 integral0^u-2 sin(vu) , dv :
12 cdot u integral0^u-2u sin(w) , dw = u2 [-cos(w)]0^u-2u = u2 [-cos(u-2u) + cos(0)] = u2 [1 - cos(1 - 2u)]
Fazendo a substituição , temos ou . Assim:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral2^4 u2 [1 - cos(1 - 2u)] , du
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por partes ou substituições adicionais, mas notamos que devido à simetria da função seno sobre a região considerada, a integral total se anula.