Calcule: , onde é a região acima do eixo e dentro de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . O enunciado fala que a região está acima do eixo e dentro do círculo . Vamos usar coordenadas polares pra facilitar, já que estamos lidando com um círculo. Precisamos converter a integral para polar e depois resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
Aqui, é a distância do ponto até a origem e é o ângulo com o eixo .
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região está dentro do círculo , o raio vai de até . E como está acima do eixo , o ângulo vai de até radianos.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, ficamos com:
Aqui, a função virou pela substituição para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , então ou . A integral fica: