Calcule: integral duplaD cos (x^2+y^2) d A, onde D é a região acima do eixo x e dentro de x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD cos (x^2+y^2) d A. O enunciado fala que a região D está acima do eixo x e dentro do círculo x^2+y^2=1. Vamos usar coordenadas polares pra facilitar, já que estamos lidando com um círculo. Precisamos converter a integral para polar e depois resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
x = r cos(theta) y = r sin(theta) dA = r , dr , dtheta
Aqui, r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região D está dentro do círculo x^2+y^2=1, o raio r vai de 0 até 1. E como está acima do eixo x, o ângulo theta vai de 0 até pi radianos.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, ficamos com:
integral0^pi integral0^1 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, a função cos(x^2 + y^2) virou cos(r^2) pela substituição para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 cos(r^2) cdot r , dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = 12 du. A integral fica:
12 integral0^1 cos(u) , du = 12 sin(u) |0^1 = 12 (sin(1) - sin(0)) = 12 sin(1)

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi 12 sin(1) , dtheta = 12 sin(1) cdot theta |0^pi = 12 sin(1) cdot pi = pi2 sin(1)

Resposta

O valor da integral é dfracpi2 sin(1).

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