Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Isso entra no assunto de cálculo, especificamente na parte de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Lembra que para derivar uma função exponencial da forma
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Então, vamos identificar nosso
:
Agora, vamos derivar
:
Agora aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, precisamos descobrir onde ela é positiva ou negativa.
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão:
-
: O termo é sempre positivo porque a função exponencial nunca é negativa. Multiplicando por 3, que também é positivo, essa parte da expressão é sempre positiva. -
: Essa parte depende do valor de . Ela será positiva quando e negativa quando .
Vamos resolver
:
E para
:
Resposta
A função
é estritamente crescente para todos os valores de
maiores que 2,5 e estritamente decrescente para todos os valores de
menores que 2,5.
Resumindo:
- Crescente:
- Decrescente:
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Calcule:
, onde
é a região acima do eixo
e dentro de
.
Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente.