Calcule integral duplaR x sin (x y) d A, onde R=[0,1] times[0, pi] nas duas ordens de integração. (Dica: Regra do Quociente.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla de sobre a região . Isso está ligado ao conteúdo de integrais múltiplas no cálculo. Vamos precisar saber trocar a ordem de integração e usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Vamos calcular integramos primeiro em relação a integral duplaR x sin(xy) , dA = integral0^1 ( integral0^pi x sin(xy) , dy ) dx e depois em relação a . A integral fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna x integral0^pi sin(xy) , dy . Como é constante em relação a , podemos tirar o da integral:

Passo 4

Para integrar x integral0^xpi sin(u) cdot dux = integral0^xpi sin(u) , du em relação a , fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 5

Agora, integramos - cos(u) |0^xpi = -cos(xpi) + cos(0) = 1 - cos(xpi) de a :

Passo 6

Substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 [1 - cos(xpi)] , dx = integral0^1 1 , dx - integral0^1 cos(xpi) , dx

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
Primeira integral:
integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1 - 0 = 1
Segunda integral:
integral0^1 cos(xpi) , dx = sin(xpi)pi |0^1 = sin(pi) - sin(0)pi = 0

Resposta

A integral dupla vale .

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