Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar em quais intervalos a função
é estritamente crescente ou decrescente. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o uso da derivada para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo em determinado ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
A derivada é:
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo
varia entre -1 e 1:
Substituindo na derivada:
Isso significa que
sempre é positivo, já que o menor valor que pode alcançar é 1.
Passo 4
Como a derivada
é sempre positiva (
), a função
está sempre crescendo em todos os intervalos de
.
Resposta
A função
é estritamente crescente para todo
real.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
é a região acima do eixo
e dentro de
.
Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente.
Calcule
, onde
nas duas ordens de integração. (Dica: Regra do Quociente.)
Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e