Calcule , onde é o trapézio limitado pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O problema pede para calcular a integral de sobre a região , que é um trapézio delimitado pelas retas , , e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que simplifica a região de integração e a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição de variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Essas novas variáveis nos ajudarão a transformar a região em algo mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação, que é essencial para mudar as variáveis na integral. As derivadas parciais são:
O jacobiano é então:
Como precisamos do valor absoluto do jacobiano, temos .
Passo 4
Vamos agora expressar a integral original em termos das novas variáveis cos(pi2 x - yx + y) = cos(pi2 vu) e integral duplaD cos(pi2 vu) cdot |J| , du , dv = integral duplaD' cos(pi v2u) cdot 12 , du , dv . A função dentro da integral fica:
E a integral se transforma em:
Onde é a nova região após a mudança de coordenadas.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração na nova região 1 <= u <= 4 e -u <= v <= u . Originalmente, integralu=1^4 integralv=-u^u cos(pi v2u) cdot 12 , dv , du é limitado por e , o que se traduz diretamente em e . Além disso, como e , temos que varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
Agora, podemos reescrever a integral como:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a integral-u^u cos(pi v2u) dv . Observe que a integral interna é:
u integral-1^1 cos(pi t2) dt = u [ 2pi sin(pi t2) ]-1^1 = u ( 2pi [sin(pi2) - sin(-pi2)] ) = u ( 4pi ) = 4upi
Fazendo a substituição 12 integral1^4 4upi du = 2pi integral1^4 u , du = 2pi [ u^22 ]1^4 = 2pi ( 162 - 12 ) = 2pi cdot 152 = 15pi , temos e os limites de integração se tornam de a . A integral fica: