Calcule , onde é o conjunto limitado pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região limitada pelas retas , , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla em regiões delimitadas por retas. Vamos precisar entender como identificar os limites de integração e, possivelmente, usar uma mudança de variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as retas para visualizar a região :
Essas retas formam um paralelogramo no plano . Vamos encontrar os pontos de intersecção para determinar os limites da região.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de intersecção das retas:
  • Intersecção de e :
    Ponto: (0, 1)
  • Intersecção de e :
    Ponto:
  • Intersecção de e :
    Ponto: (1, 0)
  • Intersecção de e :
    Ponto:

Passo 4

Observando os pontos de intersecção, vemos que a região é um paralelogramo. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis:
Definimos:
Com isso, as retas que delimitam ficam:
Isso simplifica a região de integração para um retângulo no plano .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar o elemento de área :
Resolvendo as equações e , encontramos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o Jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do Jacobiano:
Agora, expressamos a função em termos de e :

Passo 6

Estabelecemos os limites de integração no novo sistema de coordenadas e :
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, a integral se simplifica para:

Passo 8

Resolvendo a integral em :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites indicados:
b)
Calcule , onde é a quarta parte, localizada no primeiro quadrante, do anel circular limitado pelos círculos e .
Calcule , onde é o trapézio limitado pelas retas e .
Calcule os limites indicados:
h)