Calcule , onde D é limitado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela equação . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas sobre regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender a forma da região e escolher um sistema de coordenadas adequado para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação que delimita a região : . Podemos reorganizar essa equação para identificar melhor a região:
Agora, completamos o quadrado para :
Isso mostra que é uma circunferência com centro em e raio .

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre essa região, é conveniente mudar para coordenadas polares, mas como o centro da circunferência não está na origem, vamos fazer um pequeno ajuste. Vamos definir uma nova variável , assim a equação da circunferência fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares onde:
O diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, expressamos a integral original em coordenadas polares:
Isso porque .

Passo 5

Determinar os limites de integração. Como a circunferência tem raio , varia de a . O ângulo completa uma volta completa, então varia de a .
Portanto, os limites são:

Passo 6

Agora, escrevemos a integral completa com os limites definidos:
Simplificando o integrando:

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Esboce a região de integração em cada caso