Calcule integral duplaD y d x d y, onde D é limitado por x^2+y^2=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela equação . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas sobre regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender a forma da região e escolher um sistema de coordenadas adequado para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação que delimita a região x^2 + y^2 - 2y = 0 : x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1 . Podemos reorganizar essa equação para identificar melhor a região:
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Agora, completamos o quadrado para :
Isso mostra que é uma circunferência com centro em e raio .

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre essa região, é conveniente mudar para coordenadas polares, mas como o centro da circunferência não está na origem, vamos fazer um pequeno ajuste. Vamos definir uma nova variável x^2 + v^2 = 1 , assim a equação da circunferência fica:
x = r costheta
Agora, podemos usar coordenadas polares onde:
v = r sintheta
y = v + 1 = r sintheta + 1
O diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, expressamos a integral original em coordenadas polares:
integral duplaD y , dx , dy = integral duplaD (r sintheta + 1) cdot r , dr , dtheta
Isso porque .

Passo 5

Determinar os limites de integração. Como a circunferência tem raio 0 <= r <= 1 , 0 <= theta <= 2pi varia de a . O ângulo completa uma volta completa, então varia de a .
Portanto, os limites são:

Passo 6

Agora, escrevemos a integral completa com os limites definidos:
integral0^2pi integral0^1 (r sintheta + 1) cdot r , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
integral0^2pi integral0^1 (r^2 sintheta + r) , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 (r^2 sintheta + r) , dr = sintheta [ r^33 ]0^1 + [ r^22 ]0^1 :
= sintheta ( 13 - 0 ) + ( 12 - 0 )
= sintheta3 + 12

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2pi ( sintheta3 + 12 ) dtheta :
= 13 integral0^2pi sintheta , dtheta + 12 integral0^2pi dtheta
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Sabemos que:
integral0^2pi dtheta = 2pi
= 13 cdot 0 + 12 cdot 2pi
Então:
= 0 + pi
= pi

Resposta

O valor da integral dupla é .

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