Calcule
, onde D é limitado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é delimitada pela equação
. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas sobre regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender a forma da região
e escolher um sistema de coordenadas adequado para facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação que delimita a região
:
. Podemos reorganizar essa equação para identificar melhor a região:
Agora, completamos o quadrado para
:
Isso mostra que
é uma circunferência com centro em
e raio
.
Passo 3
Para calcular a integral dupla sobre essa região, é conveniente mudar para coordenadas polares, mas como o centro da circunferência não está na origem, vamos fazer um pequeno ajuste. Vamos definir uma nova variável
, assim a equação da circunferência fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares onde:
O diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Agora, expressamos a integral original em coordenadas polares:
Isso porque
.
Passo 5
Determinar os limites de integração. Como a circunferência tem raio
,
varia de
a
. O ângulo
completa uma volta completa, então varia de
a
.
Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, escrevemos a integral completa com os limites definidos:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Usando os multiplicadores de Lagrange: Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume
Determine o diferencial total da função
Considere a função
. Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano
.
Esboce a região de integração em cada caso