Usando os multiplicadores de Lagrange: Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa minimizar a superfície de uma caixa que tem uma base quadrada e um volume fixo de
. Para isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições. Precisamos entender as fórmulas para a área da superfície e o volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o lado da base da caixa (em decímetros). - Seja
a altura da caixa (em decímetros).
Agora, expressamos o volume e a área da superfície da caixa em termos de
e
:
- Volume:
- Área da superfície:
Aqui, a área da superfície é composta por duas peças da base (
) e quatro lados retangulares (
).
Passo 3
Vamos aplicar os multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os extremos da função
sujeito à restrição
.
Construímos a função de Lagrange:
Agora, derivamos
em relação a
,
e
, e igualamos a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação:
- Agora, usando a restrição
e sabendo que :
Então,
.
Passo 5
Com
e
, temos que a caixa que minimiza a superfície com volume de
tem base de
de lado e altura de
.
Resposta
A caixa ideal tem base de
de lado e altura de
, minimizando a área da superfície.
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, onde D é limitado por
.
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.