Usando os multiplicadores de Lagrange: Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa minimizar a superfície de uma caixa que tem uma base quadrada e um volume fixo de . Para isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições. Precisamos entender as fórmulas para a área da superfície e o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o lado da base da caixa (em decímetros).
  • Seja a altura da caixa (em decímetros).
Agora, expressamos o volume e a área da superfície da caixa em termos de e :
  • Volume:
  • Área da superfície:
Aqui, a área da superfície é composta por duas peças da base ( ) e quatro lados retangulares ( ).

Passo 3

Vamos aplicar os multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os extremos da função sujeito à restrição .
Construímos a função de Lagrange:
Agora, derivamos em relação a , e , e igualamos a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
  1. Agora, usando a restrição e sabendo que :
Então, .

Passo 5

Com e , temos que a caixa que minimiza a superfície com volume de tem base de de lado e altura de .

Resposta

A caixa ideal tem base de de lado e altura de , minimizando a área da superfície.

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