Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores . Esboce as curvas no plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função e encontrar as curvas de nível para os valores . Isso entra no assunto de curvas de nível em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função é igual a uma constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação que define a curva.

Passo 3

Vamos encontrar as curvas de nível para cada valor de :
  1. Para :
    Essa é a equação de uma hipérbole com os braços na direção do eixo .
  2. Para :
    Essas são duas linhas retas que passam pela origem, formando um “X”.
  3. Para :
    Essa também é a equação de uma hipérbole, mas com os braços na direção do eixo .

Passo 4

Agora, vamos resumir:
  • Para : Hipérbole com abertura vertical.
  • Para : Duas retas que se cruzam no origem.
  • Para : Hipérbole com abertura horizontal.

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para : (hipérbole vertical)
  • Para : e (duas retas)
  • Para : (hipérbole horizontal)
No plano , as curvas de nível são representadas como duas hipérboles (uma vertical e outra horizontal) e duas retas que se cruzam formando um “X”.

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