Considere a função
. Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
e encontrar as curvas de nível para os valores
. Isso entra no assunto de curvas de nível em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
é igual a uma constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação
que define a curva.
Passo 3
Vamos encontrar as curvas de nível para cada valor de
:
-
Para
: Essa é a equação de uma hipérbole com os braços na direção do eixo. -
Para
: Essas são duas linhas retas que passam pela origem, formando um “X”. -
Para
: Essa também é a equação de uma hipérbole, mas com os braços na direção do eixo.
Passo 4
Agora, vamos resumir:
- Para
: Hipérbole com abertura vertical. - Para
: Duas retas que se cruzam no origem. - Para
: Hipérbole com abertura horizontal.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
: (hipérbole vertical) - Para
: e (duas retas) - Para
: (hipérbole horizontal)
No plano
, as curvas de nível são representadas como duas hipérboles (uma vertical e outra horizontal) e duas retas que se cruzam formando um “X”.
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, onde D é limitado por
.
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