Esboce a região de integração em cada caso
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente esboçar a região de integração da integral dupla
. Isso envolve entender como as variáveis
e
estão limitando a área onde vamos integrar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de
. A integral externa é de 1 a 2, ou seja,
varia de 1 até 2. Isso significa que, no gráfico, a região que estamos interessados está entre as linhas verticais
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver os limites de
. A integral interna vai de 0 até
, ou seja, para cada valor de
entre 1 e 2,
varia de 0 até o dobro de
(
). Isso nos dá uma relação linear entre
e
.
Passo 4
Para esboçar a região, vamos desenhar o sistema de coordenadas
. Primeiro, traçamos as duas linhas verticais:
-
: uma linha vertical passando por . -
: outra linha vertical passando por .
Em seguida, traçamos a linha
, que é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 2.
Passo 5
A região de integração é onde todas essas condições se encontram. Ou seja, está entre
e
, acima de
(o eixo
) e abaixo da linha
. Isso forma uma espécie de trapézio inclinado no primeiro quadrante.
Resposta
A região de integração é o conjunto de pontos no plano
compreendido entre
e
, entre
e
. Ela pode ser representada graficamente como a área delimitada pelas linhas verticais
e
, o eixo
e a reta
.