Esboce a região de integração em cada caso integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente esboçar a região de integração da integral dupla . Isso envolve entender como as variáveis e estão limitando a área onde vamos integrar. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de . A integral externa é de 1 a 2, ou seja, varia de 1 até 2. Isso significa que, no gráfico, a região que estamos interessados está entre as linhas verticais e .

Passo 3

Agora, vamos ver os limites de . A integral interna vai de 0 até , ou seja, para cada valor de entre 1 e 2, varia de 0 até o dobro de ( ). Isso nos dá uma relação linear entre e .

Passo 4

Para esboçar a região, vamos desenhar o sistema de coordenadas . Primeiro, traçamos as duas linhas verticais:
  • : uma linha vertical passando por .
  • : outra linha vertical passando por .
Em seguida, traçamos a linha , que é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 2.

Passo 5

A região de integração é onde todas essas condições se encontram. Ou seja, está entre e , acima de (o eixo ) e abaixo da linha . Isso forma uma espécie de trapézio inclinado no primeiro quadrante.

Resposta

A região de integração é o conjunto de pontos no plano compreendido entre e , entre e . Ela pode ser representada graficamente como a área delimitada pelas linhas verticais e , o eixo e a reta .

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