Calcule: integral duplaD y e^x d x, onde D é a região do primeiro quadrante dentro de x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral de sobre a região , que está no primeiro quadrante e dentro do círculo . Isso significa que estamos trabalhando com regiões circulares e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O círculo tem raio 4. Como estamos no primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. Então, os limites de vão de 0 a 4, e para cada , vai de 0 até . Isso nos ajuda a definir os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
integralx=0^4 integraly=0^raiz16 - x^2 y e^x , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos integrar a parte interna primeiro, ou seja, integrar integral0^raiz16 - x^2 y e^x , dy = e^x integral0^raiz16 - x^2 y , dy em relação a e^x [ y^22 ]0^raiz16 - x^2 = e^x ( (16 - x^2)2 ) = e^x (16 - x^2)2 . Como é constante em relação a , podemos tirar ele da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^4 e^x (16 - x^2)2 , dx = 12 integral0^4 (16 e^x - x^2 e^x) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
12 ( integral0^4 16 e^x , dx - integral0^4 x^2 e^x , dx )

Passo 6

A primeira integral é direta:
integral 16 e^x , dx = 16 e^x + C
A segunda integral, , precisa de integração por partes. Vamos resolver isso separadamente.

Passo 7

Para integrar u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , usamos integração por partes onde:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
x^2 e^x - integral 2x e^x , dx
Aplicando a fórmula :
Agora, precisamos integrar , que também usa integração por partes.

Passo 8

Integrando u = 2x Rightarrow du = 2 , dx :
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
2x e^x - integral 2 e^x , dx = 2x e^x - 2 e^x
Aplicando novamente:
x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x = e^x (x^2 - 2x + 2)
Voltando para a integral anterior:

Passo 9

Agora, voltamos à nossa integral original:
12 ( 16 e^x g|0^4 - e^x (x^2 - 2x + 2) g|0^4 )
Calculando cada parte:
Para 16 e^4 - 16 e^0 = 16 e^4 - 16 :
e^4 (16 - 8 + 2) - e^0 (0 - 0 + 2) = e^4 (10) - 2 = 10 e^4 - 2
Para :

Passo 10

Substituindo de volta:
12 ( (16 e^4 - 16) - (10 e^4 - 2) ) = 12 (6 e^4 - 14) = 3 e^4 - 7

Resposta

A integral dupla vale .

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