Calcule: , onde é a região do primeiro quadrante dentro de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral de sobre a região , que está no primeiro quadrante e dentro do círculo . Isso significa que estamos trabalhando com regiões circulares e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . O círculo tem raio 4. Como estamos no primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. Então, os limites de vão de 0 a 4, e para cada , vai de 0 até . Isso nos ajuda a definir os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 4
Vamos integrar a parte interna primeiro, ou seja, integrar em relação a . Como é constante em relação a , podemos tirar ele da integral:
A integral de em relação a é , então:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
A primeira integral é direta:
A segunda integral, , precisa de integração por partes. Vamos resolver isso separadamente.
Passo 7
Para integrar , usamos integração por partes onde:
Aplicando a fórmula :
Agora, precisamos integrar , que também usa integração por partes.