Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis: x = 3u + 2v, y = u + 3v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente determinar o Jacobian das mudanças de variáveis definidas por e . Isso está relacionado ao Cálculo Diferencial, mais especificamente à mudança de variáveis em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessas funções em relação a u e v e montar uma matriz chamada Matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Matriz Jacobiana. Ela é uma matriz formada pelas derivadas parciais das novas variáveis ( x e y) em relação às antigas ( u e v). No nosso caso, a Matriz Jacobiana J será:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de x em relação a u:
  1. Derivada de x em relação a v:
  1. Derivada de y em relação a u:
  1. Derivada de y em relação a v:

Passo 4

Com essas derivadas, nossa Matriz Jacobiana fica assim:

Passo 5

O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz, que é o Jacobian que a gente quer. O determinante de uma matriz 2 * 2 é calculado da seguinte forma:
Onde , , , e . Substituindo:

Resposta

O Jacobian das mudanças de variáveis dadas por e é .

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