Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente determinar o Jacobian das mudanças de variáveis definidas por
e
. Isso está relacionado ao Cálculo Diferencial, mais especificamente à mudança de variáveis em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessas funções em relação a
e
e montar uma matriz chamada Matriz Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Matriz Jacobiana. Ela é uma matriz formada pelas derivadas parciais das novas variáveis (
e
) em relação às antigas (
e
). No nosso caso, a Matriz Jacobiana
será:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Com essas derivadas, nossa Matriz Jacobiana fica assim:
Passo 5
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz, que é o Jacobian que a gente quer. O determinante de uma matriz
é calculado da seguinte forma:
Onde
,
,
, e
. Substituindo:
Resposta
O Jacobian das mudanças de variáveis dadas por
e
é
.
Exercícios relacionados
Esboçe o sólido descrito por: Em coordenadas esféricas:
.
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cartesianas (retangulares), encontre suas coordenadas cilindricas.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
Calcule:
, onde
é a região do primeiro quadrante dentro de
.