Mostre que a função
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função definida por
é contínua em
mas não é diferenciável nesse ponto. Vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 0 deve ser igual a
.
Matematicamente, queremos mostrar que:
Sabemos que
, então precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite .
A função oscila entre -1 e 1 para qualquer
. Então, temos:
Como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), o limite também deve ser 0.
Portanto:
Assim, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em 0, que é definida por:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos analisar o limite .
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Mas continua oscilando sem um limite definido. Assim, o limite não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto.
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Calcule:
, onde
é a região do primeiro quadrante dentro de
.
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
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