Mostre que a função
f(x) = { x^(1/3) sen(1/x) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função definida por
é contínua em mas não é diferenciável nesse ponto. Vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .
Matematicamente, queremos mostrar que:
Sabemos que , então precisamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite .
A função oscila entre -1 e 1 para qualquer . Então, temos:
Como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), o limite também deve ser 0.
Portanto:
Assim, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular a derivada de em 0, que é definida por:
Substituindo :

Passo 5

Vamos analisar o limite .
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. Mas continua oscilando sem um limite definido. Assim, o limite não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico.

Resposta

Portanto, a função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto.

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