Demonstre que o retângulo de área máxima inscrito em um cículo de raio r é um quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem esse problema de mostrar que o retângulo que dá a maior área dentro de um círculo com raio é um quadrado. A matéria aqui envolve geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de área, o teorema de Pitágoras e um pouco de cálculo para encontrar o máximo da área.

Passo 2

Primeiro, imagina o círculo com raio e um retângulo inscrito nele. Vamos posicionar o retângulo de jeito que seus vértices toquem o círculo. Se chamarmos a largura do retângulo de e a altura de , então a área do retângulo é:

Passo 3

Como o retângulo está inscrito no círculo, os vértices satisfazem a equação do círculo. Usando o teorema de Pitágoras para o triângulo formado pelo raio e as semi-dimensões do retângulo, temos:
Isso relaciona e .

Passo 4

Queremos maximizar a área sujeita à condição . Vamos expressar em função de :
Substituindo na área:
Agora, para achar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Igualando a zero:
Simplificando:
Substituindo de volta:

Resposta

Então, o retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio é um quadrado com lados de comprimento .

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