Demonstre que o retângulo de área máxima inscrito em um cículo de raio
é um quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem esse problema de mostrar que o retângulo que dá a maior área dentro de um círculo com raio
é um quadrado. A matéria aqui envolve geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de área, o teorema de Pitágoras e um pouco de cálculo para encontrar o máximo da área.
Passo 2
Primeiro, imagina o círculo com raio
e um retângulo inscrito nele. Vamos posicionar o retângulo de jeito que seus vértices toquem o círculo. Se chamarmos a largura do retângulo de
e a altura de
, então a área
do retângulo é:
Passo 3
Como o retângulo está inscrito no círculo, os vértices satisfazem a equação do círculo. Usando o teorema de Pitágoras para o triângulo formado pelo raio e as semi-dimensões do retângulo, temos:
Isso relaciona
e
.
Passo 4
Queremos maximizar a área
sujeita à condição
. Vamos expressar
em função de
:
Substituindo na área:
Agora, para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Igualando a zero:
Simplificando:
Substituindo de volta:
Resposta
Então, o retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio
é um quadrado com lados de comprimento
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
é a região do primeiro quadrante dentro de
.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
Mostre que a função
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cilindricas, encontre suas coordenadas cartesianas (retangulares).