Demonstre que o retângulo de área máxima inscrito em um cículo de raio r é um quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem esse problema de mostrar que o retângulo que dá a maior área dentro de um círculo com raio é um quadrado. A matéria aqui envolve geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de área, o teorema de Pitágoras e um pouco de cálculo para encontrar o máximo da área.

Passo 2

Primeiro, imagina o círculo com raio e um retângulo inscrito nele. Vamos posicionar o retângulo de jeito que seus vértices toquem o círculo. Se chamarmos a largura do retângulo de e a altura de , então a área do retângulo é:

Passo 3

Como o retângulo está inscrito no círculo, os vértices satisfazem a equação do círculo. Usando o teorema de Pitágoras para o triângulo formado pelo raio e as semi-dimensões do retângulo, temos:
Isso relaciona e .

Passo 4

Queremos maximizar a área sujeita à condição . Vamos expressar em função de :
Substituindo na área:
Agora, para achar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Igualando a zero:
Simplificando:
Substituindo de volta:

Resposta

Então, o retângulo de área máxima inscrito em um círculo de raio é um quadrado com lados de comprimento .

Exercícios relacionados

Calcule: integral duplaD y e^x d x, onde D é a região do primeiro quadrante dentro de x^2+y^2=16.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f(x) = x^2 + 2x + 1, com a = 0 e b = 1
Mostre que a função
f(x) = { x^(1/3) sen(1/x) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado (r, theta, z) = (2, pi/4, 1) em coordenadas cilindricas, encontre suas coordenadas cartesianas (retangulares).