Esboce a região de integração e calcule as integrais: integral duplaD(x+y) d x d y, onde D é a região limitada pelas retas y=x, y=-2 x e y=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaD(x+y) , dx , dy. O enunciado nos pede para esboçar a região de integração D, que é limitada pelas retas y = x, y = -2x e y = 2. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para calcular essa área corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas retas no plano cartesiano:
  • y = x: Uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • y = -2x: Outra reta que também passa pela origem, mas com uma inclinação mais íngreme negativa.
  • y = 2: Uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto 2.
Vamos identificar onde essas retas se cruzam para saber os limites da nossa região D.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  1. Interseção entre y = x e y = 2:
    Igualando as duas equações:
    x = 2 implies (2, 2)
  2. Interseção entre y = -2x e y = 2:
    Igualando as duas equações:
    -2x = 2 implies x = -1 implies (-1, 2)
Portanto, os pontos de interseção são (2, 2) e (-1, 2).

Passo 4

Com os pontos de interseção, podemos esboçar a região D. Ela está limitada pelas retas mencionadas e forma um trapézio no plano. Agora, precisamos definir os limites de integração para x e y.
Vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 5

Para configurar os limites:
  • y varia de y = -2x até y = x, mas como y também está limitado por y = 2, vamos considerar isso na definição dos limites.
  • Observando os pontos de interseção, para y de 0 até 2, x varia de -y2 até y.
Então, nossos limites são:
0 <= y <= 2
-y2 <= x <= y

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites:
integral duplaD(x+y) , dx , dy = integral0^2 integral-y2^y (x + y) , dx , dy
Vamos resolver a integral interna em relação a x primeiro.

Passo 7

Integrando (x + y) em relação a x:
integral-y2^y (x + y) , dx = [ 12x^2 + yx ]-y2^y
Agora, substituímos os limites de x:
= ( 12y^2 + y cdot y ) - ( 12(-y2)^2 + y cdot (-y2) )
= ( 12y^2 + y^2 ) - ( 12cdot y^24 - y^22 )
= 32y^2 - ( y^28 - y^22 )
= 32y^2 - ( -38y^2 )
= 32y^2 + 38y^2
= 158y^2

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^2 158y^2 , dy = 158 integral0^2 y^2 , dy
= 158 [ 13y^3 ]0^2
= 158 ( 13(8) - 0 )
= 158 cdot 83
= 153
= 5

Resposta

A integral dupla integral duplaD(x+y) , dx , dy vale 5.

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