Esboce a região de integração e calcule as integrais: , onde é a região limitada pelas retas e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . O enunciado nos pede para esboçar a região de integração , que é limitada pelas retas , e . Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para calcular essa área corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas retas no plano cartesiano:
  • : Uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • : Outra reta que também passa pela origem, mas com uma inclinação mais íngreme negativa.
  • : Uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto 2.
Vamos identificar onde essas retas se cruzam para saber os limites da nossa região .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  1. Interseção entre e :
    Igualando as duas equações:
  2. Interseção entre e :
    Igualando as duas equações:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção, podemos esboçar a região . Ela está limitada pelas retas mencionadas e forma um trapézio no plano. Agora, precisamos definir os limites de integração para e .
Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Para configurar os limites:
  • varia de até , mas como também está limitado por , vamos considerar isso na definição dos limites.
  • Observando os pontos de interseção, para de 0 até 2, varia de até .
Então, nossos limites são:

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 7

Integrando em relação a :
Agora, substituímos os limites de :

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

A integral dupla vale 5.

Exercícios relacionados

Calcule , onde é a região limitada pela curva e pelo eixo .
Calcule , se e
Calcule , sendo o disco unitário centrado na origem.
Calcule , sendo o sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Esboce .