Esboce a região de integração e calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelas retas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. O enunciado nos pede para esboçar a região de integração
, que é limitada pelas retas
,
e
. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como determinar os limites de integração para calcular essa área corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas retas no plano cartesiano:
-
: Uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
: Outra reta que também passa pela origem, mas com uma inclinação mais íngreme negativa. -
: Uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto 2.
Vamos identificar onde essas retas se cruzam para saber os limites da nossa região
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção:
-
Interseção entre
e :
Igualando as duas equações: -
Interseção entre
e :
Igualando as duas equações:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção, podemos esboçar a região
. Ela está limitada pelas retas mencionadas e forma um trapézio no plano. Agora, precisamos definir os limites de integração para
e
.
Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Para configurar os limites:
-
varia de até , mas como também está limitado por , vamos considerar isso na definição dos limites. - Observando os pontos de interseção, para
de 0 até 2, varia de até .
Então, nossos limites são:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Agora, substituímos os limites de
:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
A integral dupla
vale 5.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Calcule
, se
e
Calcule
, sendo
o disco unitário centrado na origem.
Calcule
, sendo
o sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
. Esboce
.