Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente determinar onde cada uma das funções dadas é contínua. Isso significa que a gente precisa achar todos os pontos
no plano onde as funções não têm “buracos”, “saltos” ou “descontinuidades”. Para resolver isso, vamos analisar cada função individualmente, pensando no que cada parte da função faz e onde pode dar algum problema que cause descontinuidade.
Passo 2
Função 1:
Essa função é um polinômio em
e
. Os polinômios são funções contínuas em todos os pontos do plano, porque são formados por somas e produtos de termos contínuos (como
,
, etc.).
Passo 3
Função 2:
Aqui, temos uma função logarítmica. O logaritmo só está definido quando seu argumento é maior que zero. Então, para que a função seja contínua, precisamos que:
Além disso, o denominador
nunca é zero, a menos que
e
. Mas no ponto
, o numerador também é zero, o que leva a uma indeterminação. Assim, precisamos excluir esse ponto.
Passo 4
Função 3:
Essa função tem uma raiz quadrada no denominador. A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
-
⟹
Então, a função é contínua onde essas duas condições são satisfeitas.
Passo 5
Função 4:
Para pontos diferentes de
, a função é a razão de dois polinômios, então é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, onde
.
No ponto
, precisamos verificar se a função é contínua ali. Para isso, analisamos o limite da função quando
se aproxima de
. Se o limite existir e for igual a
, então a função é contínua nesse ponto.
Passo 6
Resumindo:
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Função 1: Contínua em todo
. -
Função 2: Contínua onde
e . -
Função 3: Contínua onde
(ou seja, dentro do círculo de raio 1) e . -
Função 4: Contínua em
e contínua em se o limite existir e for igual a 0.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade para as funções são:
-
: Contínua em todo . -
: Contínua onde e . -
: Contínua dentro do círculo . -
: Contínua em todo .
Exercícios relacionados
Calcule o limite, caso exista.
Calcule
sobre a região D delimitada pelo quadrilátero ABCD de vértices
e
.
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e