Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro
e raio 1.
Resp. (f)
.
Resp. (f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada por uma circunferência de raio 1 com centro na origem
. Isso significa que estamos trabalhando com integrais duplas e geometria de regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral sobre essa região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Como estamos no primeiro quadrante e a circunferência tem raio 1, a região
é um quarto de círculo onde
e
são ambos não negativos e estão dentro da circunferência
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância da origem e
é o ângulo com o eixo
.
As conversões são:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
:
-
varia de 0 até 1, pois o raio da circunferência é 1. -
varia de 0 até radianos (ou 90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em relação a
:
Podemos usar a substituição
, então
. A integral se torna:
Aplicando os limites:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.