Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD x y d x d y, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (0,0) e raio 1.
Resp. (f) 18.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada por uma circunferência de raio 1 com centro na origem . Isso significa que estamos trabalhando com integrais duplas e geometria de regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral sobre essa região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Como estamos no primeiro quadrante e a circunferência tem raio 1, a região é um quarto de círculo onde e são ambos não negativos e estão dentro da circunferência .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por x = r cos(theta) , onde y = r sin(theta) é a distância da origem e é o ângulo com o eixo .
As conversões são:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e :
  • varia de 0 até 1, pois o raio da circunferência é 1.
  • varia de 0 até radianos (ou 90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaD x y , dx , dy = integral0^pi2 integral0^1 (r cos(theta)) (r sin(theta)) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^pi2 integral0^1 r^3 cos(theta) sin(theta) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 primeiro:
14 integral0^pi2 cos(theta) sin(theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em relação a integral cos(theta) sin(theta) , dtheta :
integral u , du = u^22 + C = sin^2(theta)2 + C
Podemos usar a substituição [ sin^2(theta)2 ]0^pi2 = sin^2(pi2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12 , então . A integral se torna:
Aplicando os limites:

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
14 times 12 = 18

Resposta

O valor da integral dupla é .

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