Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
(a)
.
Resp. (a)
.
(a)
Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como inverter os limites de integração e reescrever a integral de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. A integral original tem
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 3. Isso significa que a região está limitada pela linha
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de
de 0 a 1 e
de
a 3, queremos
variar primeiro. Observando a região, para
fixo,
varia de 0 até
. Além disso,
varia de 0 a 3. Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
. Como
não depende de
, a integral em
é simples:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 6
Para resolver
, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 7
Calculando os limites:
Resposta
A integral vale
.