Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
(a) integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y.
Resp. (a) (e^9-1) / 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como inverter os limites de integração e reescrever a integral de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . A integral original tem variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 3. Isso significa que a região está limitada pela linha , , e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integral0^3 integral0^x3 e^x^2 , dy , dx de 0 a 1 e de a 3, queremos variar primeiro. Observando a região, para fixo, varia de 0 até . Além disso, varia de 0 a 3. Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^x3 e^x^2 , dy = e^x^2 cdot ( x3 - 0 ) = x3 e^x^2 . Como não depende de , a integral em é simples:

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^3 x3 e^x^2 , dx = 13 integral0^3 x e^x^2 , dx

Passo 6

Para resolver 13 integral0^3 x e^x^2 , dx = 13 cdot 12 integral0^9 e^u , du = 16 [ e^u ]0^9 , fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 7

Calculando os limites:
16 ( e^9 - e^0 ) = 16 ( e^9 - 1 )

Resposta

A integral vale .

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