Calcule
, onde é o disco de raio 1 e centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: , onde é um disco de raio 1 centrado na origem. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo em coordenadas polares, e pra resolver, a gente vai precisar mudar as coordenadas cartesianas para polares .

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas por polares. Nas coordenadas polares, a relação entre , e , é dada por:
E a expressão vira . Isso simplifica a nossa função dentro da integral.

Passo 3

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área também muda. Em polares, é igual a . Então, nossa integral fica:
Aqui, os limites para vão de 0 a 1 (o raio do disco) e para de 0 a (uma volta completa).

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para integrar essa expressão, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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Calcule
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Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
Calcule
onde é a região semicircular limitada pelo eixo e a curva .