Calcule
integral duplaD e^x^2+y^2 d A, onde D é o disco de raio 1 e centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: integral duplaD e^x^2+y^2 d A, onde D é um disco de raio 1 centrado na origem. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo em coordenadas polares, e pra resolver, a gente vai precisar mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta).

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas por polares. Nas coordenadas polares, a relação entre x, y e r, theta é dada por:
x = r costheta y = r sintheta
E a expressão x^2 + y^2 vira r^2. Isso simplifica a nossa função dentro da integral.

Passo 3

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área dA também muda. Em polares, dA é igual a r , dr , dtheta. Então, nossa integral fica:
integral duplaD e^x^2+y^2 d A = integral0^2pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, os limites para r vão de 0 a 1 (o raio do disco) e para theta de 0 a 2pi (uma volta completa).

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 e^r^2 cdot r , dr
Para integrar essa expressão, fazemos uma substituição simples. Seja u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = du2. A integral fica:
12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) integral0^2pi dtheta = 12 (e - 1) cdot 2pi = pi (e - 1)

Resposta

A integral vale pi (e - 1).

Exercícios relacionados