Calcule
, onde
é o disco de raio 1 e centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
, onde
é um disco de raio 1 centrado na origem. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo em coordenadas polares, e pra resolver, a gente vai precisar mudar as coordenadas cartesianas
para polares
.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas por polares. Nas coordenadas polares, a relação entre
,
e
,
é dada por:
E a expressão
vira
. Isso simplifica a nossa função dentro da integral.
Passo 3
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área
também muda. Em polares,
é igual a
. Então, nossa integral fica:
Aqui, os limites para
vão de 0 a 1 (o raio do disco) e para
de 0 a
(uma volta completa).
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para integrar essa expressão, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. A integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
ao deslocar uma partícula desde
até
.
Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
Calcule
onde
é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
.