Calcule
integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integração dupla, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite de vai de 0 a 1, e para cada , o vai de 0 até . Isso descreve uma área que está no primeiro quadrante de um círculo de raio 1, já que é a equação de um círculo.

Passo 3

Agora, vamos focar na função que estamos integrando: . Notamos que essa função tem simetria circular, o que sugere que podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares, e , e a área diferencial .

Passo 4

Vamos converter nossa integral para coordenadas polares. A função integral0^pi2 integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta se torna , e os limites de integração mudam: vai de 0 a 1 (raio do círculo) e vai de 0 a (primeiro quadrante).
Então, a integral passa a ser:
Aqui, multiplicamos por porque o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

O valor da integral é .

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