Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integração dupla, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite de
vai de 0 a 1, e para cada
, o
vai de 0 até
. Isso descreve uma área que está no primeiro quadrante de um círculo de raio 1, já que
é a equação de um círculo.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que estamos integrando:
. Notamos que essa função tem simetria circular, o que sugere que podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
.
Passo 4
Vamos converter nossa integral para coordenadas polares. A função
se torna
, e os limites de integração mudam:
vai de 0 a 1 (raio do círculo) e
vai de 0 a
(primeiro quadrante).
Então, a integral passa a ser:
Aqui, multiplicamos por
porque o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
ao deslocar uma partícula desde
até
.
Dado o campo vetorial
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto
até o ponto
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
iii) Calcule o trabalho
Calcule
, onde
é o disco de raio 1 e centrado na origem.
Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.