Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integração dupla, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite de vai de 0 a 1, e para cada , o vai de 0 até . Isso descreve uma área que está no primeiro quadrante de um círculo de raio 1, já que é a equação de um círculo.

Passo 3

Agora, vamos focar na função que estamos integrando: . Notamos que essa função tem simetria circular, o que sugere que podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares, e , e a área diferencial .

Passo 4

Vamos converter nossa integral para coordenadas polares. A função se torna , e os limites de integração mudam: vai de 0 a 1 (raio do círculo) e vai de 0 a (primeiro quadrante).
Então, a integral passa a ser:
Aqui, multiplicamos por porque o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule o trabalho realizado pela força conservativa ao deslocar uma partícula desde até .
Dado o campo vetorial .
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto até o ponto .
Calcule
, onde é o disco de raio 1 e centrado na origem.
Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.