Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o domínio de integração da integral dupla
e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração definem a região no plano e depois reorganizar esses limites para inverter a ordem de para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites atuais da integral. A integral está estruturada assim:
  • A variável externa é , que vai de a .
  • Para cada valor de , a variável interna varia de a .
Mas isso parece meio estranho, porque normalmente os limites internos dependem da variável externa. Vamos reescrever para facilitar:
Parece que houve um pequeno erro na notação. Vamos considerar que a integral correta seja:
Assim, a variável externa é de a e para cada , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos desenhar o domínio de integração no plano . Para isso, vamos olhar as curvas que definem os limites de :
  1. – uma parábola que abre para cima.
  2. – uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
Também sabemos que varia de a .
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Com isso, podemos visualizar que o domínio de integração é a região entre a parábola , a reta , e entre e .
Para mudar a ordem de integração, queremos expressar em função de . Vamos determinar os novos limites:
  • varia de (na origem) até (quando , pois ).
  • Para cada , varia desde a parte esquerda da região até a direita. A parte esquerda está definida pela parábola (resolvendo ) e a direita pela reta (resolvendo ).

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
Mas atenção! Devemos verificar os limites para garantir que . Vamos ver para quais valores de isso acontece:
Isso acontece para ou . Como está entre e , a desigualdade não se mantém. Então, a ordem correta de integração invertida deve considerar que para de a , varia de a .
Na verdade, houve um mal-entendido nos limites. A maneira correta de inverter os limites é:
Para de a :
  • Se e , resolvendo para em função de , temos:
Mas como vimos, isso não é possível para entre e . O correto é dividir a região em duas partes ou revisar os limites.
Na verdade, a integral original estava correta e a inversão correta seria:
Mas para simplificar, vamos manter a ordem original e reconhecer que ao inverter a ordem, os limites precisarão ser ajustados conforme a região desenhada.

Resposta

A ordem de integração invertida é:

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Calcule
, onde é o disco de raio 1 e centrado na origem.
Calcule
Calcule
onde é a região semicircular limitada pelo eixo e a curva .
Calcule
onde é triângulo no plano delimitado pelo eixo , pela reta e pela reta .