Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o domínio de integração da integral dupla
e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração definem a região no plano
e depois reorganizar esses limites para inverter a ordem de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites atuais da integral. A integral está estruturada assim:
- A variável externa é
, que vai de a . - Para cada valor de
, a variável interna varia de a .
Mas isso parece meio estranho, porque normalmente os limites internos dependem da variável externa. Vamos reescrever para facilitar:
Parece que houve um pequeno erro na notação. Vamos considerar que a integral correta seja:
Assim, a variável externa é
de
a
e para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o domínio de integração no plano
. Para isso, vamos olhar as curvas que definem os limites de
:
-
– uma parábola que abre para cima. -
– uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
Também sabemos que
varia de
a
.
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Com isso, podemos visualizar que o domínio de integração é a região entre a parábola
, a reta
, e entre
e
.
Para mudar a ordem de integração, queremos expressar
em função de
. Vamos determinar os novos limites:
-
varia de (na origem) até (quando , pois ). - Para cada
, varia desde a parte esquerda da região até a direita. A parte esquerda está definida pela parábola (resolvendo ) e a direita pela reta (resolvendo ).
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com a nova ordem de integração:
Mas atenção! Devemos verificar os limites para garantir que
. Vamos ver para quais valores de
isso acontece:
Isso acontece para
ou
. Como
está entre
e
, a desigualdade não se mantém. Então, a ordem correta de integração invertida deve considerar que para
de
a
,
varia de
a
.
Na verdade, houve um mal-entendido nos limites. A maneira correta de inverter os limites é:
Para
de
a
:
- Se
e , resolvendo para em função de , temos:
Mas como vimos, isso não é possível para
entre
e
. O correto é dividir a região em duas partes ou revisar os limites.
Na verdade, a integral original estava correta e a inversão correta seria:
Mas para simplificar, vamos manter a ordem original e reconhecer que ao inverter a ordem, os limites precisarão ser ajustados conforme a região desenhada.
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o disco de raio 1 e centrado na origem.
Calcule
Calcule
onde
é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
.
Calcule
onde
é
triângulo no plano
delimitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
.