Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
ao deslocar uma partícula desde
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força conservativa, dada pela função
, quando uma partícula se move do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho realizado por forças conservativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Além disso, para forças conservativas, sempre podemos associar uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar essa função potencial
. Sabemos que:
Então, comparando com a força dada:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.
Passo 6
Então, nossa função potencial fica:
Passo 7
Agora, para calcular o trabalho realizado, usamos a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Dado o campo vetorial
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto
até o ponto
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
iii) Calcule o trabalho
Calcule
, para
e
é a curva dada por
.
Calcule
Calcule
, onde
é o disco de raio 1 e centrado na origem.