Calcule o trabalho realizado pela força conservativa F(x, y) = x*y^2 * i + x^2*y * j ao deslocar uma partícula desde P0(1,1) até P1(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força conservativa, dada pela função , quando uma partícula se move do ponto P0(1,1) até o ponto P1(0,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho realizado por forças conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Além disso, para forças conservativas, sempre podemos associar uma função potencial phi(x, y) tal que .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar essa função potencial phi(x, y). Sabemos que:
Então, comparando com a força dada:

Passo 4

Vamos integrar em relação a x para encontrar phi(x, y):
Aqui, é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.

Passo 6

Então, nossa função potencial fica:

Passo 7

Agora, para calcular o trabalho realizado, usamos a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando:

Resposta

O trabalho realizado pela força é -1/2 unidades de trabalho.

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