Calcule o trabalho realizado pela força conservativa ao deslocar uma partícula desde até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força conservativa, dada pela função , quando uma partícula se move do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho realizado por forças conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Além disso, para forças conservativas, sempre podemos associar uma função potencial tal que .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar essa função potencial . Sabemos que:
Então, comparando com a força dada:

Passo 4

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos ignorar essa constante para simplificar.

Passo 6

Então, nossa função potencial fica:

Passo 7

Agora, para calcular o trabalho realizado, usamos a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
Calculando:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Dado o campo vetorial .
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto até o ponto .
Calcule , para e é a curva dada por .
Calcule
Calcule
, onde é o disco de raio 1 e centrado na origem.