Calcule
integral duplaR e^x^2+y^2 d A
onde R é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y=-raiz1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é uma semicirculação delimitada pelo eixo e pela curva . Para isso, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular e isso facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A equação representa a parte inferior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, é a semicircunferência inferior do círculo de raio 1. Em coordenadas polares, isso significa que o raio varia de 0 a 1 e o ângulo varia de a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que integral duplaR e^x^2+y^2 , dA = integralpi^2pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta e , e a área diferencial em polares é . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^1 e^u , du = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Fazendo uma substituição simples: deixamos , então ou . Assim, a integral vira:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
12 (e - 1) integralpi^2pi dtheta
Calculando a integral de integralpi^2pi dtheta = 2pi - pi = pi de a :

Passo 6

Multiplicando os resultados:
12 (e - 1) cdot pi = pi2 (e - 1)

Resposta

O valor da integral é .

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