Calcule
onde
é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é uma semicirculação delimitada pelo eixo
e pela curva
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular e isso facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A equação
representa a parte inferior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto,
é a semicircunferência inferior do círculo de raio 1. Em coordenadas polares, isso significa que o raio
varia de 0 a 1 e o ângulo
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que
e
, e a área diferencial
em polares é
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo uma substituição simples: deixamos
, então
ou
. Assim, a integral vira:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando a integral de
de
a
:
Passo 6
Multiplicando os resultados:
Resposta
O valor da integral é
.