Calcule integral duplaD x^3 cos (x y) d A, com D sendo a região delimitada pelos gráficos de y=x^2, y=0 e x=2.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD x^3 cos (x y) , dA. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A região D é delimitada pelas curvas y = x^2, y = 0 e x = 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como definir os limites de integração para cada variável e aplicar técnicas de integração para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região D para visualizar melhor os limites de integração. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, y = 0 é o eixo x, e x = 2 é uma linha vertical. Então, a região D está limitada abaixo pelo eixo x, acima pela parábola e à direita pela linha x = 2.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Para integrais duplas, podemos integrar em duas etapas: primeiro em relação a y e depois em relação a x, ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar primeiro em relação a y.
Para um valor fixo de x, y varia de 0 (eixo x) até x^2 (a parábola). Já x varia de 0 até 2. Então, nossos limites de integração serão:
  • x de 0 a 2
  • y de 0 a x^2

Passo 4

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
integral0^2 integral0^x^2 x^3 cos(x y) , dy , dx
Primeiro, vamos integrar a função x^3 cos(x y) em relação a y.

Passo 5

Para integrar x^3 cos(x y) em relação a y, podemos usar uma substituição simples. Seja u = x y, então du = x , dy, ou seja, dy = dux. A integral fica:
x^3 integral cos(u) cdot dux = x^2 integral cos(u) , du = x^2 sin(u) + C = x^2 sin(x y) + C
Agora, avaliamos de y = 0 a y = x^2:
x^2 sin(x cdot x^2) - x^2 sin(0) = x^2 sin(x^3) - 0 = x^2 sin(x^3)

Passo 6

Agora, nossa integral se tornou:
integral0^2 x^2 sin(x^3) , dx
Vamos resolver essa integral usando outra substituição. Seja v = x^3, então dv = 3x^2 , dx, ou seja, dx = dv3x^2. Substituindo na integral:
integral sin(v) cdot dv3 = 13 integral sin(v) , dv = -13 cos(v) + C = -13 cos(x^3) + C
Agora, avaliamos de x = 0 a x = 2:
-13 cos(8) + 13 cos(0) = 13 (1 - cos(8))

Resposta

A integral dupla vale 1 - cos(8)3.

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