Calcule
, com
sendo a região delimitada pelos gráficos de
e
.
i
i
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A região
é delimitada pelas curvas
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como definir os limites de integração para cada variável e aplicar técnicas de integração para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
para visualizar melhor os limites de integração. A curva
é uma parábola que abre para cima,
é o eixo x, e
é uma linha vertical. Então, a região
está limitada abaixo pelo eixo x, acima pela parábola e à direita pela linha
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Para integrais duplas, podemos integrar em duas etapas: primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar primeiro em relação a
.
Para um valor fixo de
,
varia de
(eixo x) até
(a parábola). Já
varia de
até
. Então, nossos limites de integração serão:
-
de a -
de a
Passo 4
Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
.
Passo 5
Para integrar
em relação a
, podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 6
Agora, nossa integral se tornou:
Vamos resolver essa integral usando outra substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A integral dupla vale
.