Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a sua série de Taylor (ou Maclaurin) centrada em
. Além disso, devemos verificar se essa série realmente representa a função original.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conceitos de Séries de Taylor: Ferramenta para representar funções como somas infinitas de termos baseados em suas derivadas em um ponto específico.
- Cálculo da Série de Taylor: Utilizaremos derivadas sucessivas da função
no ponto . - Verificação da Igualdade: Confirmar se a série encontrada realmente se iguala à função
dentro do raio de convergência.
Passo 2
Vamos começar encontrando a série de Taylor para
centrada em
.
A série de Taylor de uma função
centrada em
é dada por:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixemos
. Assim,
.
Substituindo na função:
Agora, queremos expandir
em série de potências de
.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica básica é:
Para encontrar a série de
, vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a
:
Calculando as derivadas:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas queremos
, então dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, substituímos
de volta na série:
Então, a série de Taylor de
centrada em
é:
Passo 5
Por fim, devemos verificar se essa série realmente representa a função
no intervalo de convergência.
Sabemos que a série geométrica converge para
, ou seja,
. Dentro desse intervalo, a série de Taylor que encontramos converge para
, confirmando que a função é igual à sua série de Taylor nesse domínio.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Dentro do intervalo de convergência
, a função
é igual à sua série de Taylor.