Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
b) g(x) = 1/x^2, a = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua série de Taylor (ou Maclaurin) centrada em . Além disso, devemos verificar se essa série realmente representa a função original.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conceitos de Séries de Taylor: Ferramenta para representar funções como somas infinitas de termos baseados em suas derivadas em um ponto específico.
  • Cálculo da Série de Taylor: Utilizaremos derivadas sucessivas da função no ponto .
  • Verificação da Igualdade: Confirmar se a série encontrada realmente se iguala à função dentro do raio de convergência.

Passo 2

Vamos começar encontrando a série de Taylor para centrada em .
A série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em .
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: deixemos . Assim, .
Substituindo na função:
Agora, queremos expandir em série de potências de .

Passo 3

Sabemos que a série geométrica básica é:
Para encontrar a série de , vamos derivar ambos os lados da série geométrica em relação a :
Calculando as derivadas:
Multiplicando ambos os lados por :
Mas queremos , então dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na série:
Então, a série de Taylor de centrada em é:

Passo 5

Por fim, devemos verificar se essa série realmente representa a função no intervalo de convergência.
Sabemos que a série geométrica converge para , ou seja, . Dentro desse intervalo, a série de Taylor que encontramos converge para , confirmando que a função é igual à sua série de Taylor nesse domínio.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
Dentro do intervalo de convergência , a função é igual à sua série de Taylor.

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