integral0^1 integral0^2(x+2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . Esse tipo de integral faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função duas vezes, primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, estamos integrando a função em relação a , mantendo constante. Quando a variável de integração não está presente na função, a integral é apenas a função multiplicada pelo intervalo de integração.

Passo 3

Calculando a integral interna:
integral0^2(x+2) , dy = (x + 2) cdot (2 - 0) = (x + 2) cdot 2 = 2x + 4
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (2x + 4) , dx
Agora, precisamos integrar em relação a no intervalo de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular a integral externa:
integral0^1 (2x + 4) , dx = integral0^1 2x , dx + integral0^1 4 , dx
Integrando termo a termo:
= [ x^2 ]0^1 + [ 4x ]0^1 = (1^2 - 0^2) + (4 cdot 1 - 4 cdot 0) = 1 + 4 = 5

Resposta

O valor da integral dupla é .

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