Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
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Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é usar a série binomial para escrever a função
como uma série de potências. Além disso, vamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão da série binomial e aplicar esse conceito na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série binomial. A série binomial é uma maneira de expandir expressões da forma
em uma série de potências, onde
pode ser qualquer número real. A fórmula geral da série binomial é:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que é calculado por:
Essa série converge quando
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa série binomial na nossa função
. Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que se pareça com
:
Aqui, identificamos que
e
na fórmula da série binomial corresponde a
na nossa função.
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da série binomial:
Agora, vamos calcular os coeficientes binomiais
:
Substituindo de volta na série, temos:
Essa é a série de potências para a função
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série binomial original converge quando
. No nosso caso, como substituímos
por
, a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de potências para
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.