Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
e) h(x) = 1 / raiz(1 - x^2)

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é usar a série binomial para escrever a função como uma série de potências. Além disso, vamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão da série binomial e aplicar esse conceito na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série binomial. A série binomial é uma maneira de expandir expressões da forma em uma série de potências, onde pode ser qualquer número real. A fórmula geral da série binomial é:
Aqui, é o coeficiente binomial, que é calculado por:
Essa série converge quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa série binomial na nossa função . Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se pareça com :
Aqui, identificamos que e na fórmula da série binomial corresponde a na nossa função.

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da série binomial:
Agora, vamos calcular os coeficientes binomiais :
Substituindo de volta na série, temos:
Essa é a série de potências para a função .

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série binomial original converge quando . No nosso caso, como substituímos por , a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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