Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado nos dá os limites de integração e a função que vamos integrar: . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . Aqui, o é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral interna é:
Como não depende de , podemos tirá-la de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar retirando a constante :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então , ou seja, .
Os novos limites de integração quando , e quando , .
Substituindo na integral:
Agora, integramos :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Região de Integração

A região determinada pelos limites de integração é a área no primeiro quadrante limitada por entre e e por entre e . Visualmente, isso corresponde a uma curva que desce da função desde até , formando uma região triangular arredondada sob a curva .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule , onde é a região triangular com vértices .
Considere a integral
a) Calcule a integral.