Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^pi / 2 integral0^cos x y sen x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado nos dá os limites de integração e a função que vamos integrar: . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^cos x y sin x , dy . Aqui, o sin x integral0^cos x y , dy é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral interna é:
Como não depende de , podemos tirá-la de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral sin x [ 12y^2 ]0^cos x = sin x ( 12(cos x)^2 - 12(0)^2 ) = 12 sin x (cos x)^2 . A antiderivada de é . Então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi / 2 12 sin x (cos x)^2 , dx
Podemos simplificar retirando a constante 12 integral0^pi / 2 sin x (cos x)^2 , dx :
12 integral1^0 u^2 (-du) = 12 integral0^1 u^2 , du
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe 12 [ 13u^3 ]0^1 = 12 ( 13(1)^3 - 13(0)^3 ) = 12 times 13 = 16 , então , ou seja, .
Os novos limites de integração quando , e quando , .
Substituindo na integral:
Agora, integramos :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Região de Integração

A região determinada pelos limites de integração é a área no primeiro quadrante limitada por entre e e por entre e . Visualmente, isso corresponde a uma curva que desce da função desde até , formando uma região triangular arredondada sob a curva .

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