Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado nos dá os limites de integração e a função que vamos integrar:
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. Aqui, o
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. A integral interna é:
Como
não depende de
, podemos tirá-la de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos simplificar retirando a constante
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então
, ou seja,
.
Os novos limites de integração quando ,
e quando
,
.
Deixe
Os novos limites de integração quando
Substituindo na integral:
Agora, integramos
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Região de Integração
A região determinada pelos limites de integração é a área no primeiro quadrante limitada por
entre
e
e por
entre
e
. Visualmente, isso corresponde a uma curva que desce da função
desde
até
, formando uma região triangular arredondada sob a curva
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule
, onde
é a região triangular com vértices
.
Considere a integral
a) Calcule a integral.