Calcule , em que é a região do plano composta pelos pontos do primeiro quadrante interiores ao círculo de centro e raio .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante que está dentro do círculo de centro e raio . Isso envolve conhecimentos de integrais duplas e geometria analítica para definir a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação do círculo. A equação de um círculo com centro e raio é dada por:
Aqui, temos , e . Substituindo esses valores, a equação do círculo fica:

Passo 3

Simplificando a equação do círculo:

Passo 4

Estamos interessados na região do primeiro quadrante, onde e . Portanto, precisamos determinar os limites de e dentro dessa região.

Passo 5

Vamos resolver a equação do círculo para em função de :
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto:
Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. A integral interna será em relação a e a externa em relação a :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Substituindo na integral externa:

Passo 9

Calculando a primeira integral:

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral usando substituição. Seja , então , ou seja, . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:
Resolvendo:

Passo 11

Somando os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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