Calcule integral duplaD x d A, em que D é a região do plano composta pelos pontos (x, y) do primeiro quadrante interiores ao círculo de centro (0,1 / 2) e raio 1 / 2.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaD x , dA, onde D é a região do primeiro quadrante que está dentro do círculo de centro (0, 12) e raio 12. Isso envolve conhecimentos de integrais duplas e geometria analítica para definir a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação do círculo. A equação de um círculo com centro (h, k) e raio r é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, temos h = 0, k = 12 e r = 12. Substituindo esses valores, a equação do círculo fica:
x^2 + (y - 12)^2 = (12)^2

Passo 3

Simplificando a equação do círculo:
x^2 + (y - 12)^2 = 14

Passo 4

Estamos interessados na região do primeiro quadrante, onde x >= 0 e y >= 0. Portanto, precisamos determinar os limites de x e y dentro dessa região.

Passo 5

Vamos resolver a equação do círculo para y em função de x:
(y - 12)^2 = 14 - x^2
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
y - 12 = raiz14 - x^2
Portanto:
y = 12 + raiz14 - x^2
Como estamos no primeiro quadrante, x varia de 0 a 12.

Passo 6

Agora, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. A integral interna será em relação a y e a externa em relação a x:
integralx=0^12 integraly=0^12 + raiz14 - x^2 x , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^12 + raiz14 - x^2 x , dy = x [ y ]0^12 + raiz14 - x^2 = x ( 12 + raiz14 - x^2 )

Passo 8

Substituindo na integral externa:
integral0^12 x ( 12 + raiz14 - x^2 ) dx = 12 integral0^12 x , dx + integral0^12 x raiz14 - x^2 , dx

Passo 9

Calculando a primeira integral:
12 integral0^12 x , dx = 12 [ x^22 ]0^12 = 12 cdot 18 = 116

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral usando substituição. Seja u = 14 - x^2, então du = -2x , dx, ou seja, - 12 du = x , dx. Alterando os limites de integração:
  • Quando x = 0, u = 14
  • Quando x = 12, u = 14 - (12)^2 = 0
A integral se torna:
integralu=14^0 raizu cdot ( - 12 du ) = 12 integral0^14 raizu , du
Resolvendo:
12 cdot 23 u^3/2 gr|0^14 = 13 ( (14)^3/2 - 0 ) = 13 cdot 18 = 124

Passo 11

Somando os resultados das duas integrais:
116 + 124 = 348 + 248 = 548

Resposta

O valor da integral dupla é 548.

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