Calcule , em que é a região do plano composta pelos pontos do primeiro quadrante interiores ao círculo de centro e raio .
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante que está dentro do círculo de centro e raio . Isso envolve conhecimentos de integrais duplas e geometria analítica para definir a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação do círculo. A equação de um círculo com centro e raio é dada por:
Aqui, temos , e . Substituindo esses valores, a equação do círculo fica:
Passo 3
Simplificando a equação do círculo:
Passo 4
Estamos interessados na região do primeiro quadrante, onde e . Portanto, precisamos determinar os limites de e dentro dessa região.
Passo 5
Vamos resolver a equação do círculo para em função de :
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto:
Como estamos no primeiro quadrante, varia de a .
Passo 6
Agora, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. A integral interna será em relação a e a externa em relação a :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 8
Substituindo na integral externa:
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda integral usando substituição. Seja , então , ou seja, . Alterando os limites de integração: