Calcule as seguintes integrais: integral triplaE(1 / x^3) d V, em que E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1,0 <= z <= y^2, 1 <= x <= z+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de E = (x, y, z) mid 0 <= y <= 1, 0 <= z <= y^2, 1 <= x <= z+1 sobre a região , que é definida por:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas (integrais triplas).
O que vamos precisar:
  • Compreender como configurar os limites de integração para uma integral tripla.
  • Saber integrar funções racionais em múltiplas variáveis.
  • Utilizar a notação de integrais iteradas.

Passo 2

Vamos começar configurando a integral tripla com os limites fornecidos. A integral fica:
integral triplaE 1x^3 , dV = integraly=0^1 integralz=0^y^2 integralx=1^z+1 1x^3 , dx , dz , dy
Explicação: Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a , depois em e, por último, em . Isso é feito seguindo os limites dados para cada variável.

Passo 3

Vamos integrar a função integralx=1^z+1 1x^3 , dx em relação a [ -12x^2 ]1^z+1 = -12(z+1)^2 + 12(1)^2 = 12 - 12(z+1)^2 :
Teoria: A integral de é . Aplicando os limites:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral dupla restante:
integraly=0^1 integralz=0^y^2 ( 12 - 12(z+1)^2 ) , dz , dy
Vamos separar as duas integrais:
12 integraly=0^1 integralz=0^y^2 dz , dy - 12 integraly=0^1 integralz=0^y^2 1(z+1)^2 , dz , dy

Passo 5

Primeiro, resolvemos a primeira parte:
12 integraly=0^1 integralz=0^y^2 dz , dy = 12 integraly=0^1 y^2 , dy = 12 [ y^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 16

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda parte:
-12 integraly=0^1 integralz=0^y^2 1(z+1)^2 , dz , dy
Integrando em integral 1(z+1)^2 , dz = -1z+1 :
-12 integraly=0^1 [ -1z+1 ]0^y^2 , dy = -12 integraly=0^1 ( -1y^2+1 + 11 ) , dy = -12 integraly=0^1 ( 1 - 1y^2+1 ) , dy
Aplicando os limites:
-12 ( integral0^1 1 , dy - integral0^1 1y^2+1 , dy )
Simplificando:

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
integral0^1 1 , dy = y |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 1y^2+1 , dy = arctan(y) |0^1 = pi4 - 0 = pi4
Substituindo de volta:
-12 ( 1 - pi4 ) = -12 + pi8

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
16 + ( -12 + pi8 ) = 16 - 12 + pi8
Encontrando um denominador comum para somar as frações:
16 - 36 = -26 = -13
Então:
-13 + pi8

Resposta

A integral tripla é igual a .

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