Calcule as seguintes integrais:
, em que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é definida por:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas (integrais triplas).
O que vamos precisar:
- Compreender como configurar os limites de integração para uma integral tripla.
- Saber integrar funções racionais em múltiplas variáveis.
- Utilizar a notação de integrais iteradas.
Passo 2
Vamos começar configurando a integral tripla com os limites fornecidos. A integral fica:
Explicação: Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a
, depois em
e, por último, em
. Isso é feito seguindo os limites dados para cada variável.
Passo 3
Vamos integrar a função
em relação a
:
Teoria: A integral de
é
. Aplicando os limites:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado na integral dupla restante:
Vamos separar as duas integrais:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a primeira parte:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda parte:
Integrando em
:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Encontrando um denominador comum para somar as frações:
Então:
Resposta
A integral tripla é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio das seguintes funções:
Resolva as seguintes inequações modulares:
Calcule
, em que
é a região do plano composta pelos pontos
do primeiro quadrante interiores ao círculo de centro
e raio
.
Um objeto com massa
se move com função posição
. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.