Calcule as seguintes integrais: , em que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas (integrais triplas).
O que vamos precisar:
  • Compreender como configurar os limites de integração para uma integral tripla.
  • Saber integrar funções racionais em múltiplas variáveis.
  • Utilizar a notação de integrais iteradas.

Passo 2

Vamos começar configurando a integral tripla com os limites fornecidos. A integral fica:
Explicação: Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a , depois em e, por último, em . Isso é feito seguindo os limites dados para cada variável.

Passo 3

Vamos integrar a função em relação a :
Teoria: A integral de é . Aplicando os limites:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral dupla restante:
Vamos separar as duas integrais:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a primeira parte:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda parte:
Integrando em :
Aplicando os limites:
Simplificando:

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Encontrando um denominador comum para somar as frações:
Então:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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