Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o domínio da função
. Isso envolve entender onde a função está bem definida. A gente vai precisar dos conceitos de domínio de uma função, raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os valores de
que deixam a função bem definida. No caso dessa função, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela, ou seja,
, precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, não podemos ter divisões por zero nas frações.
Passo 3
Vamos começar identificando onde as frações
e
não são possíveis, ou seja, onde os denominadores são zero:
-
(porque não existe) -
→
Então,
não pode ser 0 nem 1.
Passo 4
Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, vamos encontrar um denominador comum:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Vamos determinar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero:
- Numerador:
→ - Denominador:
e
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero.
Passo 6
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, vamos considerar onde a expressão é maior ou igual a zero, excluindo os pontos onde o denominador é zero. Assim:
- Intervalos positivos:
e - Pontos onde a expressão é zero:
Resposta
O domínio da função
é: