Encontre o domínio das seguintes funções: a(x) = raiz(1/x + 1/(x - 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o domínio da função . Isso envolve entender onde a função está bem definida. A gente vai precisar dos conceitos de domínio de uma função, raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os valores de que deixam a função bem definida. No caso dessa função, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela, ou seja, , precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, não podemos ter divisões por zero nas frações.

Passo 3

Vamos começar identificando onde as frações e não são possíveis, ou seja, onde os denominadores são zero:
  • (porque não existe)
Então, não pode ser 0 nem 1.

Passo 4

Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero:
Para resolver essa desigualdade, vamos encontrar um denominador comum:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Vamos determinar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero:
  • Numerador:
  • Denominador: e
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero.

Passo 6

Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, vamos considerar onde a expressão é maior ou igual a zero, excluindo os pontos onde o denominador é zero. Assim:
  • Intervalos positivos: e
  • Pontos onde a expressão é zero:

Resposta

O domínio da função é:

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