Um objeto com massa
se move com função posição
. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um objeto com massa
que está se movendo de acordo com a função posição
, no intervalo de tempo de
a
. O que precisamos encontrar é o trabalho realizado sobre esse objeto nesse período. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de trabalho em termos de força e deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força durante um deslocamento é dado pela integral do produto escalar da força pela velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Onde:
-
é a força aplicada -
é a velocidade do objeto -
e são os limites de tempo, que no nosso caso são e
Passo 3
Sabemos que a força
exercida sobre o objeto é relacionada à sua aceleração pela segunda lei de Newton:
Onde
é a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos encontrar a velocidade
derivando a função posição
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração
derivando a velocidade
:
Passo 6
Substituindo a aceleração na expressão da força:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Podemos simplificar a integral usando a identidade trigonométrica
:
Passo 9
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho realizado sobre o objeto durante o período de
a
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule
, em que
é a região do plano composta pelos pontos
do primeiro quadrante interiores ao círculo de centro
e raio
.
Calcule as seguintes integrais:
, em que
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Calcule as seguintes integrais:
, em que
está limitado pelas superfícies
e
.