Um objeto com massa m se move com função posição r(t) = a sen(t) i + b cos(t) j + c t k, 0 <= t <= 2 pi. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um objeto com massa m que está se movendo de acordo com a função posição , no intervalo de tempo de 0 a . O que precisamos encontrar é o trabalho realizado sobre esse objeto nesse período. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de trabalho em termos de força e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força durante um deslocamento é dado pela integral do produto escalar da força pela velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Onde:
  • F(t) é a força aplicada
  • v(t) é a velocidade do objeto
  • e são os limites de tempo, que no nosso caso são 0 e

Passo 3

Sabemos que a força F(t) exercida sobre o objeto é relacionada à sua aceleração pela segunda lei de Newton:
Onde a(t) é a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos encontrar a velocidade v(t) derivando a função posição r(t):

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) derivando a velocidade v(t):

Passo 6

Substituindo a aceleração na expressão da força:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Podemos simplificar a integral usando a identidade trigonométrica :

Passo 9

Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado sobre o objeto durante o período de 0 a é igual a 0.

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