Calcule , onde é o conjunto limitado pelos gráficos de e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelos gráficos das funções e . Aqui, estamos lidando com integração em duas variáveis, e a função que vamos integrar envolve uma expressão que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar identificando a região limitada pelas curvas e . Para isso, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Assim, a região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia de até .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, temos:
A expressão dentro da integral torna-se:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Portanto, a integral se transforma em:
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração em coordenadas polares. As curvas e em coordenadas polares são:
Os limites de vão de até , e para cada , varia de até .
Agora, calculamos a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral torna-se:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de substituição, mas para simplificar, consideramos o resultado final após a integração.