Calcule
, onde
é o conjunto limitado pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelos gráficos das funções
e
. Aqui, estamos lidando com integração em duas variáveis, e a função que vamos integrar envolve uma expressão que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar identificando a região
limitada pelas curvas
e
. Para isso, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Assim, a região
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, temos:
A expressão dentro da integral torna-se:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
. Portanto, a integral se transforma em:
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração em coordenadas polares. As curvas
e
em coordenadas polares são:
Os limites de
vão de
até
, e para cada
,
varia de
até
.
Agora, calculamos a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral torna-se:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de substituição, mas para simplificar, consideramos o resultado final após a integração.
Resposta
Após calcular a integral, obtemos que: