Faça o mapa de curvas de nível das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa fazer o mapa das curvas de nível dessa função. Curvas de nível são aquelas linhas no gráfico onde a função mantém um valor constante. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender como desenhar essas curvas no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível para um valor constante é dada por:
No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e que define a curva de nível para cada . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos com . Expande-se o lado direito:
Agora, movemos todos os termos para um lado da equação:

Passo 5

Fatorando o lado esquerdo:
E então, isolando :
Essa equação mostra como se relaciona com para cada valor de . Dependendo do valor de , a forma da curva muda.

Resposta

As curvas de nível da função são definidas pela equação , onde é uma constante. Essas curvas representam hipérboles no plano para diferentes valores de , mostrando como a função varia conforme e mudam.

Exercícios relacionados

Calcule , onde é o conjunto limitado pelos gráficos de e .
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
g)
Calcule os limites indicados:
k)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando e quando ,
b)