Faça o mapa de curvas de nível das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa fazer o mapa das curvas de nível dessa função. Curvas de nível são aquelas linhas no gráfico onde a função mantém um valor constante. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender como desenhar essas curvas no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível para um valor constante
é dada por:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
que define a curva de nível para cada
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos com
. Expande-se o lado direito:
Agora, movemos todos os termos para um lado da equação:
Passo 5
Fatorando o lado esquerdo:
E então, isolando
:
Essa equação mostra como
se relaciona com
para cada valor de
. Dependendo do valor de
, a forma da curva muda.
Resposta
As curvas de nível da função
são definidas pela equação
, onde
é uma constante. Essas curvas representam hipérboles no plano
para diferentes valores de
, mostrando como a função varia conforme
e
mudam.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o conjunto limitado pelos gráficos de
e
.
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
g)
g)
Calcule os limites indicados:
k)
k)
Calcule o limite das funçōes seguintes, quando
e quando
,
b)
b)