Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Limitado pelo paraboloide z=1+2 x^2+2 y^2 e pelo plano z=7 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide z=1+2 x^2+2 y^2 e pelo plano z=7, só no primeiro octante. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com simetria circular. Vamos precisar entender como transformar as equações para coordenadas polares e montar os limites da integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, as relações são:
x = r cos theta e y = r sin theta
Também, o elemento de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Nosso objetivo é expressar a função z=1+2x^2+2y^2 em termos de r e theta.
Substituindo x e y:
z = 1 + 2(r cos theta)^2 + 2(r sin theta)^2 = 1 + 2r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então simplificamos:
z = 1 + 2r^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para r e theta. Como estamos no primeiro octante, os ângulos variam de 0 a pi2, ou seja, theta in [0, pi2].
Para encontrar o limite de r, vamos igualar o paraboloide ao plano z=7:
1 + 2r^2 = 7 implies 2r^2 = 6 implies r^2 = 3 implies r = raiz3
Então, r varia de 0 a raiz3.

Passo 4

Com tudo isso pronto, podemos montar a integral para o volume. A fórmula geral para o volume em coordenadas polares é:
V = integraltheta1^theta2 integral0^rmax [zsuperior - zinferior] , r , dr , dtheta
No nosso caso, zsuperior é o plano z=7 e zinferior é o paraboloide z=1+2r^2. Substituindo:
V = integral0^pi2 integral0^raiz3 [7 - (1 + 2r^2)] , r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^raiz3 (6 - 2r^2) , r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a r:
integral0^raiz3 (6r - 2r^3) , dr = [ 3r^2 - 24r^4 ]0^raiz3 = [ 3(raiz3)^2 - 12(raiz3)^4 ] = [ 3 times 3 - 12 times 9 ] = 9 - 92 = 92
Agora, integramos com relação a theta:
V = integral0^pi2 92 , dtheta = 92 times pi2 = 9pi4

Resposta

O volume do sólido é 9pi4 unidades cúbicas.

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