Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Limitado pelo paraboloide
e pelo plano
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, só no primeiro octante. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com simetria circular. Vamos precisar entender como transformar as equações para coordenadas polares e montar os limites da integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, as relações são:
Também, o elemento de área em coordenadas polares é
. Nosso objetivo é expressar a função
em termos de
e
.
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para
e
. Como estamos no primeiro octante, os ângulos variam de
a
, ou seja,
.
Para encontrar o limite de
, vamos igualar o paraboloide ao plano
:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Com tudo isso pronto, podemos montar a integral para o volume. A fórmula geral para o volume em coordenadas polares é:
No nosso caso,
é o plano
e
é o paraboloide
. Substituindo:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, integramos com relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.