Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Limitado pelo paraboloide e pelo plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide e pelo plano , só no primeiro octante. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com simetria circular. Vamos precisar entender como transformar as equações para coordenadas polares e montar os limites da integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, as relações são:
Também, o elemento de área em coordenadas polares é . Nosso objetivo é expressar a função em termos de e .
Substituindo e :
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para e . Como estamos no primeiro octante, os ângulos variam de a , ou seja, .
Para encontrar o limite de , vamos igualar o paraboloide ao plano :
Então, varia de a .

Passo 4

Com tudo isso pronto, podemos montar a integral para o volume. A fórmula geral para o volume em coordenadas polares é:
No nosso caso, é o plano e é o paraboloide . Substituindo:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, integramos com relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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