Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero em todas as direções. Esses pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero são os pontos críticos. Vamos precisar encontrar essas derivadas e resolver um sistema de equações para identificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Já a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, temos duas soluções para :
Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Para isso, a gente usa a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é então:
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana:
E analisamos:
  • Se e , é um mínimo.
  • Se e , é um máximo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso aos nossos pontos.
Para o ponto :
Como , é um ponto de sela.
Para o ponto :
E:
Como e , é um máximo.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo.

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