Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível. z=13 y^3+4 x y-9 y-x^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função:
z = 13 y^3 + 4 x y - 9 y - x^2
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero em todas as direções. Esses pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero são os pontos críticos. Vamos precisar encontrar essas derivadas e resolver um sistema de equações para identificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função partial zpartial x = partialpartial x ( 13 y^3 + 4 x y - 9 y - x^2 ) = 4 y - 2 x em relação a partial zpartial y = partialpartial y ( 13 y^3 + 4 x y - 9 y - x^2 ) = y^2 + 4 x - 9 e .
A derivada parcial de em relação a é:
Já a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
4 y - 2 x = 0 y^2 + 4 x - 9 = 0
Vamos resolver a primeira equação para 4 y - 2 x = 0 Rightarrow 2 x = 4 y Rightarrow x = 2 y :
y^2 + 4 (2 y) - 9 = 0 Rightarrow y^2 + 8 y - 9 = 0
Agora, substituímos y = -8 pm raiz64 + 36 2 = -8 pm raiz100 2 = -8 pm 10 2 na segunda equação:
y = 22 = 1 e y = -182 = -9
Resolvendo essa equação quadrática para x = 2 times 1 = 2 :
x = 2 times (-9) = -18
Então, temos duas soluções para :
Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Para isso, a gente usa a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = -2
partial^2 zpartial y^2 = 2 y
partial^2 zpartial x partial y = 4
A matriz Hessiana H = -2 & 4 4 & 2 y é então:
D = ( partial^2 zpartial x^2 ) ( partial^2 zpartial y^2 ) - ( partial^2 zpartial x partial y )^2
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana:
D = (-2)(2(1)) - (4)^2 = (-2)(2) - 16 = -4 - 16 = -20 < 0
E analisamos:
  • Se D = (-2)(2(-9)) - (4)^2 = (-2)(-18) - 16 = 36 - 16 = 20 > 0 e partial^2 zpartial x^2 = -2 < 0 , é um mínimo.
  • Se e , é um máximo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso aos nossos pontos.
Para o ponto :
Como , é um ponto de sela.
Para o ponto :
E:
Como e , é um máximo.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo.

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