Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero em todas as direções. Esses pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero são os pontos críticos. Vamos precisar encontrar essas derivadas e resolver um sistema de equações para identificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Já a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então, temos duas soluções para
:
Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Para isso, a gente usa a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é então:
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana:
E analisamos:
- Se
e , é um mínimo. - Se
e , é um máximo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso aos nossos pontos.
Para o ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
E:
Como
e
,
é um máximo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo.
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