Calcule a integral
em que
é a região do plano limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa resolver. A questão pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Isso significa que estamos lidando com uma área em forma de semicírculo de raio 2 no lado direito do plano
. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando trabalhamos com regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas cartesianas, trabalhar com círculos pode ser complicado devido às raízes quadradas. Já nas coordenadas polares, qualquer ponto é descrito por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Isso simplifica bastante as equações de círculos e semicírculos.
Passo 3
Vamos converter nossa região
para coordenadas polares. O semicírculo
pode ser reescrito como
, o que representa um círculo de raio 2. Como
é positivo, estamos falando do semicírculo direito. Em coordenadas polares,
vai de 0 a 2 (o raio do círculo) e
vai de
a
para cobrir toda a metade direita do círculo.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Sabemos que
, então a função fica:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
. Portanto, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na expressão anterior:
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Mostre que
Calcule a integral de superficie
para o campo vetorial dado
e a superficie orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de
. Para superficies fechadas, use a orientaçăo (para o exterior) positiva.
9. ,
é a superficie do Problema 1 com orientação ascendente
9.