Calcule a integral
em que é a região do plano limitada pelo semicírculo e o eixo . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa resolver. A questão pede para calcular a integral dupla
onde é a região limitada pelo semicírculo e pelo eixo . Isso significa que estamos lidando com uma área em forma de semicírculo de raio 2 no lado direito do plano . Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, que facilitam muito quando trabalhamos com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas cartesianas, trabalhar com círculos pode ser complicado devido às raízes quadradas. Já nas coordenadas polares, qualquer ponto é descrito por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Isso simplifica bastante as equações de círculos e semicírculos.

Passo 3

Vamos converter nossa região para coordenadas polares. O semicírculo pode ser reescrito como , o que representa um círculo de raio 2. Como é positivo, estamos falando do semicírculo direito. Em coordenadas polares, vai de 0 a 2 (o raio do círculo) e vai de a para cobrir toda a metade direita do círculo.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Sabemos que , então a função fica:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Portanto, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo, temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 7

Vamos calcular a integral em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na expressão anterior:

Resposta

A integral vale:

Exercícios relacionados

Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :
Mostre que
Calcule a integral de superficie para o campo vetorial dado e a superficie orientada . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de . Para superficies fechadas, use a orientaçăo (para o exterior) positiva.
9. ,
é a superficie do Problema 1 com orientação ascendente